Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 5. Hai mặt bên $SAB$, $SCD$ là các tam giác đều, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ và $E$ là điểm di động trên đoạn thẳng $BG$ ($E$ khác $B$). Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $E$, song song với $SA$ và $BC$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $SB$, $SC$, $DC$, $BA$ với mặt phẳng $(\alpha )$ và $I$ là giao điểm của $QM$ và $PN$. Tính chu vi tam giác $IPQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC=SD=5$ (tam giác đều) nên $S$ nằm trên đường vuông góc tại tâm $O$ hình thoi; từ $S{O}^2=25-\frac{A{C}^2}{4}=25-\frac{B{D}^2}{4}$ suy ra $AC=BD$, tức đáy là hình vuông cạnh 5, $S{O}^2=\frac{25}{2}$.

Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(5;0;0)$, $C(5;5;0)$, $D(0;5;0)$, $S\left(\frac{5}{2};\frac{5}{2};\frac{5}{\sqrt{2}}\right)$. Trọng tâm $G\left(\frac{5}{2};\frac{5}{6};\frac{h}{3}\right)$ với $h=\frac{5}{\sqrt{2}}$. Điểm $E=B+t(G-B)$, $t\in (0;1]$: $E\left(5-\frac{5t}{2};\frac{5t}{6};\frac{th}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $E$ song song $SA$ (vt $\vec{u}=(\frac{5}{2};\frac{5}{2};-h)$) và $BC$ (vt $(0;1;0)$) có VTPT $\vec{n}=(h;0;\frac{5}{2})$, phương trình: $h(x-E_x)+\frac{5}{2}(z-E_z)=0$.

- Giao với $BA$ ($y=z=0$): $Q\left(5-\frac{5t}{3};0;0\right)$.
- Giao với $DC$ ($y=5,z=0$): $P\left(5-\frac{5t}{3};5;0\right)$. Suy ra $PQ\parallel BC$ và $PQ=5$.
- Xét $SB$: véc-tơ $\overrightarrow{SB}=(\frac{5}{2};-\frac{5}{2};-h)=\vec{u}-5(0;1;0)$ cùng phương với mặt phẳng, tức $SB\parallel (\alpha )$; tương tự $\overrightarrow{SC}=\vec{u}\parallel (\alpha )$. Do đó $QM$ là đường thẳng qua $Q$ song song $SB$, $PN$ là đường thẳng qua $P$ song song $SC$.

Giao $I$: $Q+\lambda (\frac{5}{2};-\frac{5}{2};-h)=P+\mu (\frac{5}{2};\frac{5}{2};-h)$ cho $\lambda =\mu =-1$, nên $I=Q-(\frac{5}{2};-\frac{5}{2};-h)=(\frac{5}{2}-\frac{5t}{3};\frac{5}{2};h)$.

Tính độ dài: $IQ=\sqrt{(\frac{5}{2}{)}^2+(\frac{5}{2}{)}^2+h^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}+\frac{25}{2}}=5$; tương tự $IP=5$; và $PQ=5$.

Chu vi tam giác $IPQ=5+5+5=15$. (Kết quả không phụ thuộc $t$, khớp đáp án 15.)