Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm các hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.
1. Chứng minh: $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; $JK\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$; $IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
2. Chứng minh ba đường thẳng $AJ,CK,BI$ đồng quy tại 1 điểm $O$.
3. Chứng minh $(IJK)\parallel (ABC)$.
4. Gọi $G,G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Chứng minh $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 22: Nhận xét chung: vì $I$ là tâm hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ nên $I$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }C$; tương tự $J$ là trung điểm $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }C$; $K$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$.

1) Xét tam giác $AB{C}^{\prime }$: $I$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$, $J$ là trung điểm $B{C}^{\prime }$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Mà $AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $IJ\not\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Xét tam giác $C^{\prime }A{B}^{\prime }$: $J$ là trung điểm $C^{\prime }B$, $K$ là trung điểm $A^{\prime }B$ nên $JK\parallel C^{\prime }A$. Mà $A{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $JK\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $JK\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Xét tam giác $A^{\prime }CB$: $I$ là trung điểm $A^{\prime }C$, $K$ là trung điểm $A^{\prime }B$ nên $IK\parallel CB$. Mà $CB\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, $IK\not\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra $IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

2) Dùng vectơ. Gọi $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Ta có $J$ là trung điểm $B{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})$. Lấy điểm $O$ trên $AJ$ sao cho $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AJ}$, khi đó $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})$.
Tương tự, $K$ là trung điểm $A^{\prime }B$ nên $\overrightarrow{CK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C{A}^{\prime }}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\vec{u})$, và điểm $O$ với $\overrightarrow{CO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\vec{u})$ chính là điểm đã định ở trên vì $\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{CO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}$... kiểm tra trực tiếp: $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})$ và $\overrightarrow{CO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\vec{u})$ thỏa $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AO}$ (vì $\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})=\frac{1}{3}(3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\vec{u})$ đúng). Vậy $O$ thuộc cả $AJ$ và $CK$.
Cuối cùng, $I$ là trung điểm $A{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\vec{u})$, và điểm $O$ với $\overrightarrow{BO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\vec{u})$ cũng trùng với điểm trên (kiểm tra: $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\vec{u})$ đúng). Vậy $BI$ cũng đi qua $O$, tức ba đường thẳng $AJ,CK,BI$ đồng quy tại $O$.

3) Theo câu 1: $IJ\parallel AB\subset (ABC)$ và $IK\parallel CB\subset (ABC)$, mà $IJ$ cắt $IK$ tại $I$, $IJ\not\subset (ABC)$, $IK\not\subset (ABC)$. Vậy $(IJK)\parallel (ABC)$.

4) Ta có $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\vec{u})$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thỏa $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, và $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\vec{u}$. Suy ra $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\vec{u}=\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Do đó $O$ nằm trên đường thẳng $G{G}^{\prime }$ và $\overrightarrow{GO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$, tức $O$ thuộc đoạn $G{G}^{\prime }$ với $GO=\frac{1}{3}G{G}^{\prime }$, $O{G}^{\prime }=\frac{2}{3}G{G}^{\prime }$. Vậy $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng (thứ tự $G,O,G^{\prime }$).