Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $I$.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$
3. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $ABI$, $K$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $SB=3SK$.
a) Chứng minh $MK\parallel (SAC)$
b) Chứng minh $(MNK)\parallel (SAC)$.
c) Tìm $H$ là giao điểm của $DK$ và $(SAC)$. Tính $\frac{HK}{HD}$.
d) Tìm $E$ là giao điểm của $SA$ và $(DKN)$. Tính $\frac{ES}{EA}$.
4. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song mặt phẳng $(SDC)$. Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt của hình chóp.

(AI giải đề cho tôi)
(Lời giải tham khảo do AI thực hiện)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\vec{c}$, $I$ là trung điểm $AC$ và $BD$, $\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$.

Câu 1. Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$, nên giao tuyến là đường thẳng $d$ qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$).

Câu 2. $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $I=AC\cap BD\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến là $SI$.

Câu 3. $M$ trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{BM}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{3}$. $N$ trọng tâm tam giác $ABI$: $\overrightarrow{BN}=\frac{\vec{a}+\vec{0}+\overrightarrow{BI}}{3}=\frac{3\vec{a}+\vec{c}}{6}$. $K\in SB$, $SB=3SK\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\vec{s}$.

Câu 3a) $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BM}=\frac{2\vec{s}-\vec{a}-\vec{c}}{3}=\frac{(\vec{s}-\vec{a})+(\vec{s}-\vec{c})}{3}$.
Vì $\vec{s}-\vec{a}=\overrightarrow{AS}$ và $\vec{s}-\vec{c}=\overrightarrow{CS}$ đều thuộc $(SAC)$, nên $\overrightarrow{MK}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của $(SAC)$, do đó $MK\parallel (SAC)$.

Câu 3b) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{3\vec{a}+\vec{c}}{6}-\frac{\vec{a}+\vec{c}}{3}=\frac{\vec{a}-\vec{c}}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}$.
Suy ra $MN\parallel AC\subset (SAC)$ mà $MK\parallel (SAC)$ (câu a), $MN$ cắt $MK$ tại $M$, nên $(MNK)\parallel (SAC)$.

Câu 3c) Tham số hóa đường thẳng $DK$: $X(t)=D+t(K-D)$ với $\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\vec{c}$, $\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\vec{s}$:
$$X(t)=(1-t)(\vec{a}+\vec{c})+\frac{2t}{3}\vec{s}.$$
$X\in (SAC)$ khi và chỉ khi tổng hệ số của $\vec{a},\vec{c},\vec{s}$ bằng $1$: $2(1-t)+\frac{2t}{3}=1\Rightarrow 2-\frac{4t}{3}=1\Rightarrow t=\frac{3}{4}$.
Vậy $H$ nằm giữa $D$ và $K$, với $DH=\frac{3}{4}DK$, $HK=\frac{1}{4}DK$, do đó $\frac{HK}{HD}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$.

Câu 3d) Đường thẳng $SA$: $Y(u)=u\vec{a}+(1-u)\vec{s}$ (gốc $B$, $\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$).
Mặt phẳng $(DKN)$: $Y=\lambda D+\mu K+\nu N$ với $\lambda +\mu +\nu =1$. So sánh hệ số:
- theo $\vec{c}$: $\lambda +\frac{\nu }{6}=0$;
- theo $\vec{a}$: $\lambda +\frac{\nu }{2}=u$;
- theo $\vec{s}$: $\frac{2\mu }{3}=1-u$.

Từ phương trình đầu: $\lambda =-\frac{\nu }{6}$, suy ra $\frac{\nu }{3}=u\Rightarrow \nu =3u,\lambda =-\frac{u}{2}$, và $\mu =1+\frac{u}{2}-3u=1-\frac{5u}{2}$.
Thế vào phương trình theo $\vec{s}$: $\frac{2}{3}\left(1-\frac{5u}{2}\right)=1-u\Rightarrow 2-5u=3-3u\Rightarrow u=-\frac{1}{2}$.
Vậy $E$ nằm trên đường thẳng $SA$, ngoài đoạn $SA$ phía qua $S$: $\overrightarrow{SE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}$. Suy ra $ES=\frac{1}{2}SA$, $EA=\frac{3}{2}SA$, do đó $\frac{ES}{EA}=\frac{1}{3}$.

Câu 4. Mặt phẳng $(SDC)$ có hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{CD}=\vec{a}$ (vì $CD\parallel AB$) và $\overrightarrow{CS}=\vec{s}-\vec{c}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ ($\overrightarrow{BM}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{3}$, $M$ nằm trong mặt đáy) và song song $(SDC)$:
$$(\alpha ):X=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{3}+u\vec{a}+v(\vec{s}-\vec{c}).$$

- $(\alpha )\cap (SAB)$: điểm thuộc $(SAB)$ khi hệ số của $\vec{c}$ bằng $0$: $v=-\frac{1}{3}$. Giao tuyến là đường thẳng qua $P=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{s}$ (trên $SA$, $AP=\frac{1}{3}AS$) và $R=\frac{1}{3}\vec{s}$ (trên $SB$, $SR=\frac{2}{3}SB$), song song với $AB$.
- $(\alpha )\cap (SAC)$: cố định $u=0$, giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $SC$, cắt $AC$ tại $Q=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}$ với $AQ=\frac{2}{3}AC$.
- $(\alpha )\cap (SBC)$: cố định $u=-\frac{1}{3}$, giao tuyến là đường thẳng qua $R$ song song với $SC$, cắt $BC$ tại $T=\frac{1}{3}\vec{c}$ với $BT=\frac{1}{3}BC$.
- $(\alpha )\cap (SAD)$: giao tuyến qua $P$ song song với $SD$, cắt $AD$ tại $U=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{c}$ với $AU=\frac{1}{3}AD$.
- $(\alpha )\cap (ABCD)$: cố định $v=0$, giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $AB$, chính là đường thẳng $TU$ ($T\in BC$, $U\in AD$), và $M$ là trung điểm $TU$.
- $(\alpha )\cap (SCD)=\varnothing$ vì $(\alpha )\parallel (SDC)$ và $M\notin (SDC)$.

Vậy thiết diện bởi $(\alpha )$ là tứ giác $PRTU$ với $P\in SA(AP=\frac{1}{3}AS)$, $R\in SB(SR=\frac{2}{3}SB)$, $T\in BC(BT=\frac{1}{3}BC)$, $U\in AD(AU=\frac{1}{3}AD)$, trong đó $PR\parallel TU\parallel AB$, $RT\parallel SC$, $PU\parallel SD$, và $M$ là trung điểm của $TU$.