Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chứng minh hai đường song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ACD$: $M$ trung điểm $AC$, $Q$ trung điểm $CD$ nên $MQ$ là đường trung bình, suy ra $MQ\parallel AD$. Trong tam giác $SAD$: $R$ trung điểm $SA$, $T$ trung điểm $SD$ nên $RT$ là đường trung bình, suy ra $RT\parallel AD$. Vậy $MQ\parallel RT$ (cùng song song với $AD$). Các cặp khác: $MP\parallel AB$, $PQ\parallel BD$, còn $MN$ không chung mặt phẳng với $RT$ và không có cơ sở song song, nên loại A, C, D.

Hướng dẫn chấm:
a) Chứng minh : $MO//SC$ (1 điểm)

- Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của AC. (0,25)
- Xét $\Delta ASC$ có $\{\begin{array}{l}MA=MS\\ OA=OC\end{array}$ nên $OM$ là đường trung bình của $\Delta ASC$, suy ra $OM//SC$ (0,5)
- KL và vẽ đúng hình nét đứt, nét liền (0,25)

b) Tìm giao điểm $K$ của $SD$ và $(MBC)$. (0,5 điểm)
- Chọn $(SAD)$ chứa $SD$, tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(MBC)$
- Ta có: $\{\begin{array}{l}M\in (SAD)\cap (MBC)\\ AD//BC\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}My=(SAD)\cap (MBC)\\ My//AD//BC\end{array}$ (0,25)
- Trong $(SAD)$, gọi $K=My\cap SD$
- Với $\{\begin{array}{l}K\in SD\\ K\in My\subset (MBC)\Rightarrow K\in (MBC)\end{array}\Rightarrow K=SD\cap (MBC)$, KL (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$. Các khẳng định B, C, D không đúng vì $MN$ chỉ song song với $AB$ (tức $CD$), còn $MG$, $NG$ không tạo thành các đường trung bình tương ứng song song với $BC$ hay $AD$. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $SAB$: $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Theo định lí đường trung bình, $IJ\parallel AB$ (và $IJ=\frac{1}{2}AB$). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có: $IJ\parallel AB$ và $AB\parallel CD$, hơn nữa $IJ$ không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ còn $AB$ nằm trong $(ABCD)$, do đó theo tính chất bắc cầu của hai đường thẳng song song, $IJ\parallel CD$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$ (hoặc $a\subset (P)$); tương tự với $(Q)$. Giả sử $a$ cắt $d$ tại điểm $M$. Vì $d\subset (P)$ và $d\subset (Q)$ nên $M\in (P)$ và $M\in (Q)$, suy ra $a$ có điểm chung với $(P)$ và với $(Q)$, mâu thuẫn với $a$ song song cả hai mặt phẳng. Vậy $a$ và $d$ không cắt nhau, không trùng nhau. Hai đường thẳng không cắt nhau và không trùng nhau thì hoặc song song hoặc chéo nhau. Nếu $a,d$ chéo nhau thì tồn tại mặt phẳng chứa $d$ và song song với $a$; nhưng mọi mặt phẳng chứa $d$ đều cắt $(P)$ theo $d$... Cách chứng minh chuẩn: lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vì $a\parallel (P)$ nên $a\parallel b$; do $a,d$ không cắt nhau và $b\subset (P)$, $d\subset (P)$ nên $b\parallel d$ hoặc $b\equiv d$. Từ đó $a\parallel d$ (vì $a\parallel b$, $b\parallel d$, $a$ không nằm trong $(P)$). Thực chất: $a$ không thể chéo với $d$ vì nếu chéo thì qua $d$ có mặt phẳng song song với $a$, nhưng mọi mặt phẳng chứa $d$ đều cắt $(P)$ (hoặc trùng $(P)$) theo giao tuyến qua $d$, dẫn đến mâu thuẫn. Kết luận: $a\parallel d$. Vậy mệnh đề a) sai, b) sai, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\equiv d$ thì $a\subset (P)$ và $a\subset (Q)$, khi đó $a$ không song song với $(P)$ theo nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng (phải không có điểm chung). Mâu thuẫn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ song song với cả $(P)$ và $(Q)$, $a$ không có điểm chung với $(P),(Q)$, mà $d\subset (P)\cap (Q)$, nên $a$ không cắt $d$. Nếu $a,d$ chéo nhau thì qua $d$ tồn tại mặt phẳng song song với $a$; nhưng mặt phẳng đó cắt $(P)$ theo giao tuyến đi qua $d$, khi đó giao tuyến này song song với $a$ và nằm trong $(P)$, suy ra $a$ song song với đường thẳng trong $(P)$ đi qua $d$, từ đó suy ra $a\parallel d$, không chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, $(\alpha )$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vì $a\parallel (P)$ nên $a\parallel b$. Trong $(\alpha )$: nếu $b$ cắt $d$ tại $M$ thì $M\in (P)\cap (Q)=d$, và $M\in b\subset (\alpha )$... hơn nữa $M\in (P)$ nên $a$ không qua $M$. Vì $a\parallel b$ và $d$ cắt $b$ trong $(P)$, ta chứng minh được $a\parallel d$: giả sử $a$ không song song $d$, vì $a,d$ không cắt nhau (do $a$ không có điểm chung với $(P)$ chứa $d$) nên $a,d$ chéo nhau; nhưng đường thẳng $b\subset (P)$ với $b\parallel a$ và $b$ cắt $d$ (nếu $b\parallel d$ thì $a\parallel d$, xong). Vậy luôn có $a\parallel d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a$ cắt $d$ tại $M$ thì $M\in (P)$ và $M\in (Q)$, suy ra $a$ có điểm chung với $(P)$, mâu thuẫn với $a\parallel (P)$. Vậy $a,d$ không cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$. Theo định lí đường trung bình, $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN\parallel AC$. Vậy đáp án C.

Xét tam giác $SAD$, đoạn thẳng $MN$ nối trung điểm hai cạnh $SA$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình.

Do đó đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AD$.

Chọn B.