Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với mặt phẳng $(P)$. Mà $b\subset (P)$ nên $a$ và $b$ không thể có điểm chung, do đó chúng không thể cắt nhau. Các trường hợp song song, chéo nhau hoặc không có điểm chung đều có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P$ là trung điểm của $SB$. Trong tam giác $SAB$, $H$ trung điểm $SA$, $P$ trung điểm $SB$ nên $HP$ là đường trung bình, suy ra $HP\parallel AB$ và $HP=\frac{AB}{2}$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$, do đó $HP\parallel CD$ và $HP=\frac{CD}{2}=CK$ (vì $K$ trung điểm $CD$). Vậy tứ giác $HPCK$ có $HP\parallel CK$ và $HP=CK$ nên là hình bình hành, suy ra $HK\parallel PC$. Mà $PC\subset (SBC)$ và $HK\not\subset (SBC)$, nên $HK\parallel (SBC)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$ (vì $A\notin (SBC)$ do $S.ABCD$ là hình chóp). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, suy ra $AD\parallel (SBC)$. Các phương án khác sai vì $AD\subset (SAD)$, còn $(SAB)$ và $(SDC)$ đều cắt $AD$ (chứa điểm $A$ hoặc $D$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\not\subset (AMN)$ (mặt phẳng $(AMN)$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ theo giao tuyến $MN$) và $MN\subset (AMN)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $BC\parallel (AMN)$. Các đường $SB,AB,SA$ đều cắt mặt phẳng $(AMN)$ (chung điểm $S$, $A$ hoặc giao với $MN$), nên không song song. Vậy đáp án là $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$, suy ra $MN\parallel BD$.

Xét mặt phẳng $(BCD)$:
- Đường thẳng $BD$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$.
- Đường thẳng $MN$ không nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ (vì $M\in AB$, $A\notin (BCD)$, nên $MN$ không thuộc $(BCD)$).
- $MN\parallel BD\subset (BCD)$.

Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng (nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó thì nó song song với mặt phẳng), ta có:
$$MN\parallel (BCD).$$
Điều phải chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $I$ thuộc trung tuyến $BM$, do đó $IM=\frac{1}{3}MB$. Trong tam giác $ACD$, $J$ là trọng tâm nên $J$ thuộc trung tuyến $DM$, do đó $JM=\frac{1}{3}MD$. Xét tam giác $MBD$: vì $\frac{MI}{MB}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ nên theo định lý Thales (đảo), $IJ\parallel BD$. Mà $BD\subset (BCD)$ và $IJ\not\subset (BCD)$ (vì $I\notin (BCD)$ do $I$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và tứ diện không suy biến). Vậy theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $IJ\parallel (BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là trung điểm của $AD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ thuộc trung tuyến $BK$, do đó $\overrightarrow{KG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{KB}$ (tính chất trọng tâm: $KG=\frac{1}{3}KB$). Ta có $\overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}$.

Vì $M$ thuộc $BC$ với $BM=2MC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{MB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Xét: $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}$.

Vậy $\overrightarrow{MG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}$, tức $MG\parallel CK$.

Mà $K$ là trung điểm $AD$ nên $K\in (ACD)$, và $C\in (ACD)$, do đó đường thẳng $CK\subset (ACD)$. Lại có $M\notin (ACD)$ (vì $M$ thuộc cạnh $BC$ của tứ diện, $M\ne C$).

Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: đường thẳng $MG$ song song với đường thẳng $CK$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ và $MG\not\subset (ACD)$, nên $MG\parallel (ACD)$. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=6$, $AC=3$, $AD=2$, lấy $A$ làm gốc, $\vec{B},\vec{C},\vec{D}$ là các vectơ chỉ. Gọi $BC=x$, $BD=y$.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$: $O=\frac{CA\cdot B+AB\cdot C}{BC+CA+AB}=\frac{3\vec{B}+6\vec{C}}{x+9}$.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$: $O^{\prime }=\frac{AD\cdot B+AB\cdot D}{BD+AD+AB}=\frac{2\vec{B}+6\vec{D}}{y+8}$.
Điều kiện $O{O}^{\prime }\parallel (BCD)$ tương đương với $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}$, tức tổng các hệ số theo $\vec{B},\vec{C},\vec{D}$ bằng 0:
$$\left(\frac{2}{y+8}-\frac{3}{x+9}\right)-\frac{6}{x+9}+\frac{6}{y+8}=0\Rightarrow \frac{8}{y+8}=\frac{9}{x+9}.$$
Suy ra $8(x+9)=9(y+8)\Rightarrow 8x=9y\Rightarrow k=\frac{BC}{BD}=\frac{x}{y}=\frac{9}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. a) Trong tam giác SAB, M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MN // AB. Vì đáy ABCD là hình thang có AB là đáy lớn nên AB // CD, do đó MN // CD. Ta có: CD nằm trong mp(SCD); MN không nằm trong mp(SCD) (vì M, N thuộc mp(SAB) và MN // CD nên MN không thể cắt mp(SCD)). Vậy MN // mp(SCD).

b) Gọi P là giao điểm của BC và (OMN). Nhận xét: MN // AB và MN nằm trong (OMN), AB nằm trong mp(ABCD), MN không nằm trong mp(ABCD). Suy ra giao tuyến d của (OMN) và mp(ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB (vì nếu giao tuyến cắt MN thì nó nằm trong (SAB), mâu thuẫn vì O không thuộc (SAB); do đó d // MN // AB).

Trong mp(ABCD), vẽ qua O đường thẳng d song song với AB (đồng thời song song với CD). Vì AB // CD và O nằm giữa hai cạnh bên AD, BC (O là giao hai đường chéo của hình thang), đường thẳng d cắt cạnh BC tại một điểm P xác định. Khi đó P thuộc BC và P thuộc d ⊂ (OMN), nên P là giao điểm của đường thẳng BC và mp(OMN).

Tỉ số (tham khảo): trong tam giác BDC, OP // DC nên OP/DC = BO/BD. Mặt khác do AB // CD, O là giao hai đường chéo nên BO/BD = AB/(AB + CD). Vậy OP = DC · AB/(AB + CD), tức P là điểm trên BC sao cho đường thẳng qua P và O song song với hai đáy của hình thang.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có vị trí tương đối tùy ý: chúng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Ví dụ: trong mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q)$, mọi đường thẳng của $(P)$ đều song song với $(Q)$, và trong $(P)$ chúng có thể cắt, song song hoặc trùng nhau; lấy thêm một đường thẳng ngoài $(P)$ song song với $(Q)$ thì có thể chéo nhau. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $AD\parallel BC$, $AD=3BC$ nên các đường chéo cắt nhau tại $O$ với $\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=3$, suy ra $\frac{CO}{CA}=\frac{1}{4}$. Trong tam giác $SAC$, qua $O$ vẽ đường thẳng song song với $SA$, cắt $SC$ tại $I$. Khi đó $OI\parallel SA\subset (SAD)$ nên $OI\parallel (SAD)$. Theo định lý Thales: $\frac{CI}{CS}=\frac{CO}{CA}=\frac{1}{4}$. Vậy $x=\frac{1}{4}$ (điểm $I$ thuộc đoạn $SC$ nên tồn tại duy nhất).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$. Do $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$ (B đúng). Do $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$ nên $CD\parallel (SAB)$ (C đúng). Do $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$ (D đúng). Riêng $AC$ cắt $CD$ tại $C\in (SCD)$, tức $AC$ có điểm chung với mặt phẳng $(SCD)$ và $AC\not\subset (SCD)$, nên $AC$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ chứ không song song. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$, do đó $MN\parallel AB$. Mà $AB\subset (SAB)$ và $MN\not\subset (SAB)$, nên $MN\parallel (SAB)$. Kiểm tra các phương án khác: $MN$ cắt mặt $(SCD)$ (nó nằm trong mặt đó, không song song); với $(SBD)$ và $(SAC)$, đường thẳng $MN$ không song song với chúng vì $CD$ cắt các mặt này (ví dụ $CD$ cắt $(SBD)$ tại giao của $CD$ với $BD$... thực chất $CD$ không song song với $(SBD)$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì I, J lần lượt là trung điểm BC, BD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra IJ ∥ CD và IJ = CD/2 → a) đúng. Mặt khác IJ ∥ CD, CD ⊂ (ACD) mà IJ ⊄ (ACD) nên IJ ∥ (ACD). Mặt phẳng (P) chứa IJ và cắt (ACD) theo giao tuyến MN, do đó MN ∥ IJ ∥ CD. Vậy MN song song với DC, không cắt DC → b) sai. Tứ giác IJNM có IJ ∥ MN (cùng song song CD) và MN ≠ IJ nói chung (MN = k·CD với k = AM/AC ≠ 1/2 nói chung), nên IJNM là hình thang → c) đúng. IJNM là hình bình hành khi và chỉ khi MN = IJ = CD/2, tức AM/AC = AN/AD = 1/2, nghĩa là M là trung điểm của AC (và N là trung điểm của AD) → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ là đường trung bình của tam giác BCD nên IJ ∥ CD và IJ = ½CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ CD nên IJ ∥ (ACD); (P) chứa IJ cắt (ACD) theo MN nên MN ∥ IJ ∥ CD. Vậy MN song song DC chứ không cắt DC.
c) (AI giải đề cho tôi)
IJNM có IJ ∥ MN (cùng song song CD) và MN ≠ IJ nói chung, nên là hình thang.
d) (AI giải đề cho tôi)
IJNM là hình bình hành ⟺ MN = IJ = ½CD ⟺ AM/AC = AN/AD = ½, tức M là trung điểm của AC.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ABCD là hình bình hành nên MN là đường trung bình nối trung điểm AB, CD, suy ra MN // AD // BC và MN đi qua tâm O.
a) MN // BC với BC nằm trong (SBC), M không thuộc (SBC) nên MN // (SBC). Đúng.
b) MN // AD với AD nằm trong (SAD), MN không nằm trong (SAD) (M thuộc AB, N thuộc CD, không thuộc mặt phẳng (SAD)) nên MN // (SAD). Đúng.
c) P là trung điểm SA, M là trung điểm AB nên trong tam giác SAB có PM // SB. Vì PM nằm trong (MNP) và SB không nằm trong (MNP) nên SB // (MNP), do đó SB KHÔNG cắt (MNP). Sai.
d) Kiểm tra với tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), C(2;2;0), S(0;0;4). Khi đó M(1;0;0), N(2;1;0), P(0;0;2). Mặt phẳng (MNP) có phương trình 2x - 2y + z = 2. Thay S(0;0;4): 4 > 2; thay C(2;2;0): 0 < 2. S và C nằm khác phía đối với (MNP) nên đoạn SC cắt mặt phẳng (MNP), tức SC cắt (MNP). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN // BC (đường trung bình của hình bình hành), BC nằm trong (SBC) và MN không nằm trong (SBC) nên MN // (SBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
MN // AD, AD nằm trong (SAD) và MN không nằm trong (SAD) nên MN // (SAD).
c) (AI giải đề cho tôi)
P trung điểm SA, M trung điểm AB nên PM // SB, suy ra SB // (MNP), không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ S(0;0;4), C(2;2;0) và (MNP): 2x-2y+z=2, S và C nằm khác phía nên SC cắt (MNP).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. O là trung điểm BD, O' là trung điểm BF nên trong tam giác DBF, OO' là đường trung bình, suy ra OO' ∥ DF. Vì DF ⊂ (ADF) và OO' ⊄ (ADF) nên OO' ∥ (ADF).

b) Sai. Xét tam giác ACE: O là trung điểm AC (tâm hình bình hành ABCD), O' là trung điểm AE (tâm hình bình hành ABEF), nên OO' là đường trung bình ⇒ OO' ∥ CE. Vì CE ⊂ (BCE) và OO' ⊄ (BCE) nên OO' ∥ (BCE), tức OO' không cắt mặt phẳng (BCE).

c) Sai. Theo giả thiết BN = (1/3)BD nên BN/BD = 1/3, không phải 2/3.

d) Đúng. Chọn A làm gốc, ta có M = (2/3)A + (1/3)E, N = (2/3)B + (1/3)D, nên vector MN = (2/3)AB + (1/3)AD − (1/3)AE. Vì AE = AB + AF và AD = BC: MN = (1/3)AB + (1/3)BC − (1/3)AF = (1/3)(AC − AF) = −(1/3)CF. Vậy MN ∥ CF, mà CF ⊂ (CDFE) và M ∉ (CDFE) (vì M ∈ AE với M ≠ E), suy ra MN ∥ (CDFE).
a) (AI giải đề cho tôi)
O trung điểm BD, O' trung điểm BF ⇒ OO' là đường trung bình tam giác DBF ⇒ OO' ∥ DF ⊂ (ADF), nên OO' ∥ (ADF).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ACE, O trung điểm AC, O' trung điểm AE ⇒ OO' ∥ CE ⊂ (BCE) ⇒ OO' ∥ (BCE), do đó OO' không cắt mặt phẳng (BCE).
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết BN = (1/3)BD nên BN/BD = 1/3 ≠ 2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc A: MN = (2/3)AB + (1/3)AD − (1/3)AE = (1/3)(AB + BC − AF) = −(1/3)CF (vì CF = AF − AB − BC). Suy ra MN ∥ CF ⊂ (CDFE) và M ∉ (CDFE), nên MN ∥ (CDFE).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0)$ và hình bình hành $ABEF$ (theo thứ tự $A,B,E,F$, nên $BE\parallel AF$, $EF\parallel AB$) với $E(1;0;1),F(0;0;1)$. Khi đó $O_1$ là tâm $ABCD$: $O_1(0,5;0,5;0)$; $O_2$ là tâm $ABEF$ (trung điểm $AE$ và $BF$): $O_2(0,5;0;0,5)$; $M$ trung điểm $CD$: $M(0,5;1;0)$.

- Xét tam giác $DBE$: $O_1$ là trung điểm $DB$, $O_2$ là trung điểm $BE$ nên $O_1{O}_2\parallel DE$.
- Mặt phẳng $(BEC)$ là mặt phẳng $x=1$; mặt phẳng $(AFD)$ là mặt phẳng $x=0$. Đường thẳng $O_1{O}_2$ có $x=0,5$ không đổi, nên $O_1{O}_2\parallel (BEC)$ (và $O_1\notin (BEC)$) và $O_1{O}_2\parallel (AFD)$ (và $O_1\notin (AFD)$). Vậy B và C đúng.
- Mặt phẳng $(EFM)$: $\overrightarrow{EF}=(-1;0;0)$, $\overrightarrow{EM}=(-0,5;1;-1)$, pháp tuyến $(0;1;1)$, phương trình $y+z=1$. VTCP của $O_1{O}_2$ là $(0;-1;1)$ có tích vô hướng với $(0;1;1)$ bằng $0$, và $O_1$ có $y+z=0,5\ne 1$ nên $O_1{O}_2\parallel (EFM)$. Vậy D đúng.
- Đường thẳng $M{O}_2$: qua $M(0,5;1;0)$ và $O_2(0,5;0;0,5)$, có hoành độ $x=0,5$ không đổi, nên $M{O}_2\parallel (BEC)$ (mặt phẳng $x=1$), tức $M{O}_2$ không cắt $(BEC)$. Vậy A sai.

Khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ và $b\subset (P)$ nên $a$ và $b$ không có điểm chung (khẳng định B đúng). Do đó $a$ và $b$ hoặc song song nhau (khi $b\parallel a$) hoặc chéo nhau (khẳng định C đúng, và khẳng định D 'a và b cắt nhau' là sai). Với khẳng định A: nếu $a$ chéo $b$, qua một điểm bất kỳ trên $a$ và một điểm trên $b$ luôn vẽ được đường thẳng $c$ cắt cả hai; nếu $a\parallel b$, một đường thẳng $c$ bất kỳ cắt cả hai đường song song đó tồn tại. Vậy A đúng. Khẳng định sai là D.