Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng $A$, $B$, $C$ thành ba điểm thẳng hàng $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ và bảo toàn tỉ lệ độ dài, nên trung điểm được giữ nguyên: vì $B$ là trung điểm của $AC$ nên $B^{\prime }$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Do $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ phân biệt nên $B^{\prime }$ là trung điểm duy nhất, các khẳng định $A$, $C$ sai; khẳng định $D$ sai vì ảnh của ba điểm thẳng hàng thì thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(0,1,1)$. Khi đó $M(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $M^{\prime }(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$, $N(0,1,\frac{1}{2})$, $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1)$, $G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

a) $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(0,0,1)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $M{M}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$. Đúng.

b) Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$. Mặt phẳng $(IKG)$: $\overrightarrow{IK}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, pháp tuyến $(1,1,0)$, phương trình $x+y=\frac{2}{3}$. Hai mặt phẳng song song, không cắt nhau. Sai.

c) Hình chiếu của $K$ và $G$ theo phương $A{A}^{\prime }$ xuống $(ABC)$ là $K_0(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$ và $G_0(0,\frac{2}{3},0)$. $\overrightarrow{K_0{G}_0}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)\parallel (-1,1,0)$, cùng phương với $\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)$. Đúng.

d) $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\parallel (-1,1,1)$. Mặt phẳng $(MN{C}^{\prime })$: $\overrightarrow{MN}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$, pháp tuyến $(1,1,0)$, phương trình $x+y=1$. Vì $\overrightarrow{IG}\cdot (1,1,0)=0$ nên $IG$ song song với mặt phẳng; hơn nữa $I$ có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$ nên $I\notin (MN{C}^{\prime })$. Vậy $IG\parallel (MN{C}^{\prime })$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(0,0,1)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $M{M}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(IKG)$ có phương trình $x+y=\frac{2}{3}$ song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$, nên hai mặt phẳng không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $K,G$ là $K_0(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $G_0(0,\frac{2}{3},0)$; $\overrightarrow{K_0{G}_0}\parallel \overrightarrow{BC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IG}\parallel (-1,1,1)$ vuông góc pháp tuyến $(1,1,0)$ của $(MN{C}^{\prime })$ và $I\notin (MN{C}^{\prime })$, nên $IG\parallel (MN{C}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S\left(\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$ (tam giác $SAB$ đều cạnh $a$). $M(a;x;0)$ với $0<x<a$.

a) Đường thẳng qua $D$ song song với phương chiếu $BC$ (tức song song $AD$) chính là $AD$, cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại $A$. Hình chiếu của $D$ là $A$, của $S$ là $S$, nên hình chiếu của $SD$ là $SA$. → Đúng.

b) Vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$, suy ra giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$ (đồng thời song song $BC$, $AB$), không song song với $SA$. → Sai.

c) Mặt phẳng đáy cắt $(SAB)$ theo $AB$, nên $d\parallel AB$. Đường thẳng qua $M$ song song $AB$ cắt $AD$ tại $N(0;x;0)$, khi đó $AN=BM=x$ nên $ND=a-x\ne x$ (vì $0<x<a$). → Sai.

d) Mặt phẳng $(\alpha )$ song song $(SAB)$, tức $(\alpha ):y=x$. Thiết diện: trên đáy là đoạn $NM$ với $N(0;x;0)$, $M(a;x;0)$ dài $a$; trên $SC$ là $R\left(\frac{a+x}{2};x;\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$; trên $SD$ là $Q\left(\frac{a-x}{2};x;\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$. $RQ=x\parallel NM$, chiều cao trapezoid (trong mặt phẳng $y=x$) là $h^{\prime }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)=\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$. Diện tích: $\frac{1}{2}(a+x)\cdot \frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-x^2)$. → Đúng.

Kết luận: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Qua $D$ vẽ đường song song với $BC$ (tức $AD$) cắt $(SAB)$ tại $A$; hình chiếu của $S$ là $S$, nên hình chiếu của $SD$ là $SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$, ta có $AD\parallel (SBC)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (cũng song song $BC$), không song song với $SA$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d$ nằm trong mặt đáy và song song $(SAB)$ nên $d\parallel AB$. Khi đó $AN=BM=x$ nên $ND=a-x\ne x$ với $0<x<a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thiết diện là hình thang $NMRQ$ ($NM=a$, $RQ=x$, $NM\parallel RQ$) với chiều cao $\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$, diện tích $\frac{1}{2}(a+x)\cdot \frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-x^2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình tứ diện là hình có 4 đỉnh, 6 cạnh và 4 mặt đều là tam giác. Quan sát bốn hình vẽ ở Câu 14 (trang 5): Hình A là hình chóp có đáy là tam giác, gồm 4 mặt đều là tam giác — đây chính là hình tứ diện. Các hình B, C, D là hình chóp có đáy là tứ giác (5 đỉnh, 8 cạnh, 5 mặt) nên không phải tứ diện. Vậy hình biểu diễn tứ diện là Hình A, tương ứng phương án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 201, câu 14 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $M$ theo phương $AC$ lên $(SAD)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ qua $M$ song song với $AC$ với mặt phẳng $(SAD)$. Xét mặt phẳng $(SAC)$: vì $M$ là trung điểm của $SC$ và $d\parallel AC$ nên theo định lý Thales trong tam giác $SAC$, $d$ cắt $SA$ tại trung điểm $I$ của $SA$. Vì $I\in SA\subset (SAD)$ nên $I$ chính là hình chiếu cần tìm. Vậy hình chiếu song song của $M$ theo phương $AC$ lên $(SAD)$ là trung điểm của $SA$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song theo phương $A{A}^{\prime }$: qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $A{A}^{\prime }$, tức là đường $B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ trong hình hộp), cắt mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại $B^{\prime }$. Tương tự, qua $C$ kẻ đường song song với $A{A}^{\prime }$, tức $C{C}^{\prime }$, cắt mặt phẳng tại $C^{\prime }$. Vậy hình chiếu của $B$ là $B^{\prime }$ và của $C$ là $C^{\prime }$, nên hình chiếu của cạnh $BC$ là đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáp án C, trùng với bảng đáp án nguồn (mã đề 6789, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh bên song song với nhau: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Hình chiếu song song của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song với $C{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vì $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ nên đường thẳng đó chính là $A{A}^{\prime }$, giao điểm là $A^{\prime }$. Tương tự, hình chiếu của $B$ là $B^{\prime }$. Vậy hình chiếu của đoạn $AB$ là đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, nên hình chiếu song song của điểm $B$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $A{A}^{\prime }$ là $B^{\prime }$, của điểm $C$ là $C^{\prime }$. Do đó hình chiếu của cạnh $BC$ là đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáp án B, trùng với bảng đáp án (mã đề 2345, câu 6 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh bên song song: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Hình chiếu song song của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song với $C{C}^{\prime }$ (tức đường $A{A}^{\prime }$) với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, đó chính là $A^{\prime }$. Tương tự, hình chiếu của $B$ là $B^{\prime }$. Vậy hình chiếu của đoạn $AB$ là đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 0123: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đặt $\vec{v}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Ta có $I=\frac{A+B}{2}$, $I^{\prime }=\frac{A^{\prime }+B^{\prime }}{2}=I+\vec{v}$, nên $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}/2+\vec{v}$. Đường thẳng qua $I$ song song $A{I}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại điểm $I+t\overrightarrow{A{I}^{\prime }}$. Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $A=(0;0;0)$, $B=(2;0;0)$, $\vec{v}=(0;0;h)$ thì $I=(1;0;0)$, $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=(1;0;h)$, đường qua $I$: $(1+t;0;th)$; giao với $z=h$ tại $t=1$ cho $(2;0;h)=B^{\prime }$. Vậy phép chiếu biến $I$ thành $B^{\prime }$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$. Do đó khi chiếu song song theo phương $B^{\prime }B$ lên mặt phẳng $(ABC)$: điểm $A^{\prime }$ có hình chiếu là $A$, điểm $B^{\prime }$ có hình chiếu là $B$, điểm $C^{\prime }$ có hình chiếu là $C$. Vậy hình chiếu của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác $ABC$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M$ song song với $CB$ (phương chiếu là phương $CB$) nằm trong mặt phẳng $(ABC)$. Vì $M$ là trung điểm của $AC$, đường thẳng qua $M$ song song với $CB$ cắt $AB$ tại trung điểm của $AB$ (định lý đường trung bình). Điểm này thuộc $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$, nên ảnh của $M$ qua phép chiếu song song lên $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ theo phương $CB$ là trung điểm của $AB$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.DEF$, hai đáy $ABC$ và $DEF$ có các cạnh tương ứng song song nên $DF\parallel AC$. Đường thẳng qua $D$ song song với $AC$ chính là đường thẳng $DF$, và $F$ thuộc mặt phẳng $(BCFE)$. Vậy hình chiếu song song của $D$ lên $(BCFE)$ theo phương $AC$ là điểm $F$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với $D{A}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm cần tìm. Ta có $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DA}$. Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song $D{A}^{\prime }$: $B^{\prime }+t(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DA})$. Vì $B^{\prime }$ cách $(ABCD)$ một khoảng bằng chiều cao (theo phương $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$), với $t=-1$ ta được $B^{\prime }-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{DA}=B-\overrightarrow{DA}=B+\overrightarrow{AD}=B+\overrightarrow{BC}=C$. Vậy hình chiếu của $B^{\prime }$ là điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (các cạnh bên của hình hộp song song và bằng nhau). Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với phương chiếu $A{A}^{\prime }$ chính là đường thẳng $B{B}^{\prime }$, cắt mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ tại $B$. Vậy phép chiếu song song phương $A{A}^{\prime }$ lên mặt $(ABCD)$ biến $B^{\prime }$ thành $B$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B$ song song với phương chiếu $C{C}^{\prime }$ chính là đường thẳng $B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ trong hình hộp). Đường thẳng này cắt mặt phẳng chiếu $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại điểm $B^{\prime }$. Vậy phép chiếu biến $B$ thành $B^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu theo phương $B^{\prime }B$: điểm $B^{\prime }$ chiếu lên $B$. Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, đường chiếu qua $A^{\prime }$ song song $B{B}^{\prime }$ cắt mặt $(ABC)$ tại $A$, tương tự $C^{\prime }$ chiếu xuống $C$. Vậy hình chiếu của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (các cạnh bên $AE,BF,CG,DH$ song song và bằng nhau), ta có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$. Đường thẳng qua $B$ song song với $AH$: vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên đường qua $B$ song song $AH$ nằm trong mặt phẳng $(BCGF)$, song song với $CG$ (vì $CG\parallel AE\parallel DH$). Đường thẳng này qua $B$ song song với $CG$ cắt $(EFGH)$ tại điểm $G$ (vì $BG\parallel CG$ không đúng — chính xác là: đường qua $B$ song song $AH$ chính là đường thẳng $BG$ vì $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AH}$). Vậy hình chiếu của $B$ theo phương chiếu $AH$ lên mặt $(EFGH)$ là $G$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B^{\prime }$ song song với phương chiếu $A^{\prime }D$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại hình chiếu. Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}$. Đường thẳng qua $B^{\prime }$ theo phương này: $B^{\prime }+t(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD})$. Với $t=1$: $B^{\prime }+\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}=B+\overrightarrow{AD}=C$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành $ABCD$). Vậy hình chiếu của $B^{\prime }$ là điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABCD.EFGH$, các cạnh bên song song nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}=\vec{k}$ (phương thẳng đứng). Ta có $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=-\vec{k}+\overrightarrow{AB}$. Đường thẳng qua $H$ song song với $EB$: $H+t\overrightarrow{EB}=D+\vec{k}+t(-\vec{k}+\overrightarrow{AB})$. Điểm này thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ khi thành phần theo phương thẳng đứng triệt tiêu, tức $t=1$, khi đó hình chiếu là $D+\overrightarrow{AB}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra hình chiếu là $D+\overrightarrow{DC}=C$. Vậy hình chiếu của $H$ lên $(ABCD)$ theo phương chiếu $EB$ là điểm $C$.