Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Hình chiếu song song của cạnh $BC$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $A{A}^{\prime }$ là

Giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-2n}{3n}$ có giá trị bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm $M$ là trung điểm của $SD$. Giao điểm của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(MBC)$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ với đường thẳng nào sau đây?

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Xét các mệnh đề sau trong không gian:

(1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.

(2) Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau.

(3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

(4) Hai đường thẳng cắt nhau thì không đồng phẳng.

Trong các mệnh đề đã cho, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,SB$.



Đường thẳng $EF$ song song với mặt phẳng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Xét phương trình lượng giác $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

a) Phương trình tương đương với $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$.

b) Nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{7\pi }{6}$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0;2\pi )$ bằng $\frac{5\pi }{3}$.

Cho $(u_n)$ là một cấp số cộng với $u_2=6,u_3=2$.

a) Cấp số cộng có công sai là $d=-4$.

b) Số hàng đầu của cấp số cộng là $u_1=10$.

c) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n=-4n+6$.

d) Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{15}=-270$.

Rút gọn biểu thức $A=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\alpha \right)-\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\alpha \right)$ được kết quả là $A=k.\sin \alpha$ với $k\in \mathbb{Z}$. Tìm $k$.

Trong hình dưới, khi vật $A$ gắn ở đầu lò xo được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm $O$ và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật $A$ dao động quanh $O$. Tọa độ $s$ (cm) của $A$ trên trục $Ox$ vào thời điểm $t$ (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s=10\sin \left(10t+\frac{\pi }{2}\right)$. Hỏi trong 8 giây đầu tiên $(0\le t\le 8)$, có bao nhiêu thời điểm vật $A$ ở xa vị trí cân bằng nhất?

Doanh thu bán hàng trong 25 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau:



Hỏi doanh thu trung bình mỗi ngày của cửa hàng là bao nhiêu triệu đồng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{EA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

Một công ty mua một chiếc máy sản xuất với giá 800 triệu đồng. Giả sử cứ sau mỗi năm, giá trị của chiếc máy giảm đi 10\% so với năm trước đó. Hỏi sau 10 năm kể từ khi mua, giá trị của chiếc máy đó là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+\sqrt{2-x}}{x^2-x-6}& \text{khi }x<-2\\ m^{2}x+1& \text{khi }x\ge -2\end{array}$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $-2$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=8$, $AD=5$. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $CE=\frac{1}{3}SC$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $AE$ và song song với $BD$, cắt $SB$ tại $M$ và cắt $SD$ tại $H$. Tính độ dài đoạn thẳng $MH$.