Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Hình chiếu song song của cạnh $AB$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là

Cho dãy số $(u_n)$ có số hàng tổng quát là $u_n=n^2-2n$. Số hàng thứ 10 của dãy số là

Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AB,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho hai đường thẳng $MN$ và $BD$ cắt nhau tại $I$.



Điểm $I$ không thuộc mặt phẳng nào sau đây?

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-4n}{5n}$ có giá trị bằng

Xét các mệnh đề sau trong không gian:
(1) Hai đường thẳng cắt nhau thì đồng phẳng.
(2) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
(3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
(4) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Trong các mệnh đề đã cho, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc cạnh $SA,AC$ sao cho $\frac{SE}{SA}=\frac{2}{3},\frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$. Giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(BEF)$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ với đường thẳng nào sau đây?

Cho $(u_n)$ là một cấp số cộng với $u_2=2,u_3=6$.

a) Cấp số cộng có công sai là $d=3$.

b) Số hàng đầu của cấp số cộng là $u_1=-2$.

c) Số hàng tổng quát của cấp số cộng là $u_n=4n-6$.

d) Tổng 20 số hàng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{20}=720$.

Xét phương trình lượng giác $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

a) Phương trình tương đương với $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$.

b) Nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi ,x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{5\pi }{12}$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0;\pi )$ bằng $\frac{\pi }{2}$.

Trong hình dưới, khi vật $A$ gắn ở đầu lò xo được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm $O$ và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật $A$ dao động quanh $O$. Tọa độ $s$ (cm) của $A$ trên trục $Ox$ vào thời điểm $t$ (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s=10\sin \left(10t+\frac{\pi }{2}\right)$. Hỏi trong 5 giây đầu tiên $(0\le t\le 5)$, có bao nhiêu thời điểm vật $A$ ở xa vị trí cân bằng nhất?

Rút gọn biểu thức $A=\cos \left(\frac{2\pi }{3}-\alpha \right)+\cos \left(\frac{2\pi }{3}+\alpha \right)$ được kết quả là $A=k.\cos \alpha$ với $k\in \mathbb{Z}$. Tìm $k$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{SA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau:



Hỏi doanh thu trung bình mỗi ngày của cửa hàng là bao nhiêu triệu đồng?

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91\%. Giả sử tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hàng năm, hãy tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030 (đơn vị: triệu người, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Tìm các giá trị của tham số $a$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+6}{x-\sqrt{4x-3}}& \text{khi }x>3\\ a^{2}x-1& \text{khi }x\le 3\end{array}$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới 3.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=7,AD=4$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=\frac{2}{3}SC$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $AM$ và song song với $BD$, cắt $SD$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$.