Xét phương trình lượng giác $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

a) Phương trình tương đương với $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$.

b) Nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{7\pi }{6}$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0;2\pi )$ bằng $\frac{5\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. a) Vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$ giống hệt phương trình đã cho, do đó tương đương → Đúng. b) Từ $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ → Đúng. c) Với $k=0$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}<\frac{7\pi }{6}$, nên khẳng định nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{7\pi }{6}$ là Sai. d) Trong $(0;2\pi )$ có hai nghiệm $\frac{\pi }{2}$ và $\frac{7\pi }{6}$, tổng bằng $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$ → Đúng. Kết quả Đ-S-Đ-Đ khớp đáp án nguồn SDSD (mã đề 2345, trang 17).
a) Vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên hai phương trình giống hệt nhau, do đó tương đương. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)
b) Từ $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ ta có $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)
c) Với $k=0$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}<\frac{7\pi }{6}$, nên khẳng định sai. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)
d) Các nghiệm thuộc $(0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{7\pi }{6}$; tổng bằng $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{3\pi +7\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$. (Lý giải do AI, khớp đáp án nguồn SDSD.)