Xét phương trình lượng giác $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

a) Phương trình tương đương với $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$.

b) Nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{7\pi }{6}$.

d) Tổng các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0;2\pi )$ bằng $\frac{5\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$, ta có $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) Sai: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{1}{2}$, nên phương trình không tương đương với $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$.
b) Đúng: nghiệm tổng quát đúng như trên.
c) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}$ (khi $k=0$), không phải $\frac{7\pi }{6}$.
d) Đúng: các nghiệm thuộc $(0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{7\pi }{6}$, tổng bằng $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}+\frac{7\pi }{6}=\frac{10\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$. Kết quả khớp đáp án nguồn (SĐĐĐ).
a) $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên hai phương trình không tương đương.
b) Từ $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ suy ra $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$.
c) Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{2}$ ($k=0$ ở họ nghiệm đầu), nhỏ hơn $\frac{7\pi }{6}$.
d) Các nghiệm trong $(0;2\pi )$ là $\frac{\pi }{2}$ và $\frac{7\pi }{6}$; tổng $=\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}$.