Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và tam giác $SAB$ đều. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BM=x$ $(0<x<a)$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ và song song mặt phẳng $(SAB)$ cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $N$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và song song mặt phẳng $(SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S\left(\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$ (tam giác $SAB$ đều cạnh $a$). $M(a;x;0)$ với $0<x<a$.

a) Đường thẳng qua $D$ song song với phương chiếu $BC$ (tức song song $AD$) chính là $AD$, cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại $A$. Hình chiếu của $D$ là $A$, của $S$ là $S$, nên hình chiếu của $SD$ là $SA$. → Đúng.

b) Vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$, suy ra giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$ (đồng thời song song $BC$, $AB$), không song song với $SA$. → Sai.

c) Mặt phẳng đáy cắt $(SAB)$ theo $AB$, nên $d\parallel AB$. Đường thẳng qua $M$ song song $AB$ cắt $AD$ tại $N(0;x;0)$, khi đó $AN=BM=x$ nên $ND=a-x\ne x$ (vì $0<x<a$). → Sai.

d) Mặt phẳng $(\alpha )$ song song $(SAB)$, tức $(\alpha ):y=x$. Thiết diện: trên đáy là đoạn $NM$ với $N(0;x;0)$, $M(a;x;0)$ dài $a$; trên $SC$ là $R\left(\frac{a+x}{2};x;\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$; trên $SD$ là $Q\left(\frac{a-x}{2};x;\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$. $RQ=x\parallel NM$, chiều cao trapezoid (trong mặt phẳng $y=x$) là $h^{\prime }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)=\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$. Diện tích: $\frac{1}{2}(a+x)\cdot \frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-x^2)$. → Đúng.

Kết luận: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Qua $D$ vẽ đường song song với $BC$ (tức $AD$) cắt $(SAB)$ tại $A$; hình chiếu của $S$ là $S$, nên hình chiếu của $SD$ là $SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$, ta có $AD\parallel (SBC)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (cũng song song $BC$), không song song với $SA$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d$ nằm trong mặt đáy và song song $(SAB)$ nên $d\parallel AB$. Khi đó $AN=BM=x$ nên $ND=a-x\ne x$ với $0<x<a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thiết diện là hình thang $NMRQ$ ($NM=a$, $RQ=x$, $NM\parallel RQ$) với chiều cao $\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$, diện tích $\frac{1}{2}(a+x)\cdot \frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-x^2)$.