Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và điểm $M$ di động trên cạnh $AB$ thỏa mãn $\frac{AM}{AB}=x$ $(0<x<1)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ song song với các đường thẳng $A{C}^{\prime }$, $A^{\prime }B$ và cắt các cạnh $A{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{B}^{\prime }$, $BC$ tương ứng tại các điểm $N$, $P$, $Q$, $K$.
a) Chứng minh giao điểm của $MN$ và $QK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Nêu cách dựng các điểm $N$, $P$, $Q$, $K$.
b) Tính tỉ số $\frac{Q{B}^{\prime }}{Q{C}^{\prime }}$ khi $x=\frac{2}{3}$.
c) Trong trường hợp $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng 1, tìm giá trị lớn nhất của diện tích ngũ giác $MNPQK$.