Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A,M$ và song song với $SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$, tính tỉ số $\frac{SN}{SB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ với đường thẳng $DC$. Trong mặt phẳng đáy, đặt hệ: $A(0)$, $B=b$, $D=d$, $C=b+d$ ($ABCD$ hình bình hành), $M=\frac{3b+d}{2}$. Đường thẳng $AM$ cắt $DC$ tại $E$ với $E=d+\frac{1}{3}b$, tức $DE=\frac{1}{3}DC$. Vì $E\in DC\subset (SDC)$ và $E\in AM\subset (\alpha )$ nên $(\alpha )$ cắt $(SDC)$ theo đường thẳng qua $E$ song song với $SD$ (do $(\alpha )\parallel SD$), cắt $SC$ tại $K$. Trong tam giác $SDC$, $EK\parallel SD$ nên $\frac{CE}{CD}=\frac{2}{3}=\frac{CK}{CS}$, suy ra $\frac{SK}{SC}=\frac{1}{3}$. Xét tam giác $SBC$ trong mặt phẳng $(SBC)$: $M\in BC$, $K\in SC$, đường thẳng $MK$ cắt $SB$ tại $N$. Theo Menelaus: $\frac{BM}{MC}\cdot \frac{CK}{KS}\cdot \frac{SN}{NB}=1\Rightarrow 1\cdot 2\cdot \frac{SN}{NB}=1\Rightarrow \frac{SN}{NB}=\frac{1}{2}$. Vậy $\frac{SN}{SB}=\frac{1}{3}$.