Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},& \text{khi }x>1\\ -x^2+m,& \text{khi }x\le 1\end{array}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, nên ý a) sai (không phải $m=-\frac{3}{4}$). Ý b) đúng vì $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$. Ý c) đúng vì với $x>1$ hàm $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ xác định ($x+3>0$, $x-1\ne 0$) và với $x\le 1$ hàm $-x^2+m$ xác định, nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Ý d) đúng vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-x^2+m)=-1+m$.

a) Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m=\frac{1}{4}$, tức $m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$.

b) Với $x=-1\le 1$: $f(-1)=-(-1{)}^2+m=-1+m$.

c) Cả hai nhánh đều xác định trên miền của chúng nên hàm xác định trên $\mathbb{R}$.

d) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-x^2+m)=-1+m$.