Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAD$ và $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $GM$ song song với mặt phẳng $(SCD)$. Tính tỉ số $\frac{S_{\Delta MAB}}{S_{\Delta MAC}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$; khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Trọng tâm tam giác $SAD$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{3}$. Mặt phẳng $(SCD)$ có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SD}=\vec{d}-\vec{s}$ và $\overrightarrow{CD}=-\vec{b}$. Gọi $M\in BC$ với $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}=t\vec{d}$, tức $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+t\vec{d}$. Điều kiện $\overrightarrow{GM}\parallel (SCD)$: $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AG}=\vec{b}+t\vec{d}-\frac{1}{3}\vec{s}-\frac{1}{3}\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{s})+\beta \vec{b}$. So sánh hệ số: hệ số của $\vec{s}$: $-\frac{1}{3}=\alpha$; hệ số của $\vec{d}$: $t-\frac{1}{3}=-\alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $BM=\frac{2}{3}BC$, $MC=\frac{1}{3}BC$. Hai tam giác $MAB$ và $MAC$ có chung đỉnh $A$ và hai đáy $MB$, $MC$ nằm trên cùng đường thẳng $BC$ nên $\frac{S_{\Delta MAB}}{S_{\Delta MAC}}=\frac{MB}{MC}=\frac{2/3}{1/3}=2$.