Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB=7a$, $CD=3a$. Gọi $I$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{IS}{IB}=\frac{x}{y}$ (với $x,y$ là các số nguyên dương và $\frac{x}{y}$ là phân số tối giản). Biết rằng $CI$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. Giá trị của $x+y$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Vì đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$, $AB=7a$, $CD=3a$ nên tam giác $EAB$ đồng dạng tam giác $ECD$, suy ra $\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{CD}=\frac{7}{3}$. Do đó $EC=\frac{3}{4}EB$ và $BC=EB-EC=\frac{1}{4}EB$, tức $\frac{CE}{EB}=\frac{3}{7}$, $\frac{CB}{EB}=\frac{4}{7}$.

Mặt phẳng $(SBC)$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ theo giao tuyến $SE$ (vì $S$ chung, $E$ thuộc $AD\subset (SAD)$ và $E$ thuộc $BC\subset (SBC)$).

Vì $CI\parallel (SAD)$, $CI$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$ nên $CI\parallel SE$. Xét tam giác $SEB$ có $C$ thuộc $EB$, $I$ thuộc $SB$ và $CI\parallel SE$, theo định lý Thales:
$$\frac{BI}{IS}=\frac{BC}{CE}=\frac{4/7}{3/7}=\frac{4}{3}.$$
Vậy $\frac{IS}{IB}=\frac{3}{4}$, tức $x=3$, $y=4$ (phân số tối giản) và $x+y=7$.