Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B^{\prime }AC$ và $D{A}^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D' với hệ tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1,1,1), D'(0,1,1).
a) A'C' ∥ AC (tính chất hình hộp), AC ⊂ (ABCD), A'C' ⊄ (ABCD) ⇒ A'C' ∥ (ABCD). Đúng.
b) AA' ∥ DD' (cạnh bên), DD' ⊂ (CDD'), AA' ⊄ (CDD') ⇒ AA' ∥ (CDD'). Đúng.
c) AC ∥ A'C' và AB' ∥ DC' (tứ giác AB'C'D là hình bình hành vì AB' = D'C' = (1,0,1)); hai đường thẳng cắt nhau AC, AB' trong (B'AC) lần lượt song song với (DA'C') ⇒ (B'AC) ∥ (DA'C'). Đúng.
d) M = trọng tâm tam giác B'AC = ((1+0+1)/3, (0+1+1)/3, (1+0+0)/3) = (2/3, 1/3, 1/3); N = trọng tâm tam giác DA'C' = ((0+0+1)/3, (1+0+1)/3, (0+1+1)/3) = (1/3, 2/3, 2/3).
(MDC): qua D(0,1,0), C(1,1,0), M(2/3,1/3,1/3); DC = (1,0,0), DM = (2/3,−2/3,1/3), pháp tuyến DC×DM ∝ (0,1,2), phương trình y + 2z = 1.
(NA'B'): qua A'(0,0,1), B'(1,0,1), N(1/3,2/3,2/3); A'B' = (1,0,0), A'N = (1/3,2/3,−1/3), pháp tuyến A'B'×A'N ∝ (0,1,2), phương trình y + 2z = 2.
Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến (0,1,2) và phương trình khác nhau nên song song phân biệt, không cắt nhau. Do đó khẳng định '(NA'B') cắt (MDC)' là SAI. (Lưu ý: nhận xét trong trường errors của dữ liệu nguồn là nhầm lẫn — thực tế cả hai mặt phẳng đều có pháp tuyến (0,1,2), không phải (0,−1,2), nên chúng song song.)
a) (AI giải đề cho tôi)
A'C' ∥ AC, AC ⊂ (ABCD), A'C' ⊄ (ABCD) nên A'C' ∥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
AA' ∥ DD', DD' ⊂ (CDD'), AA' ⊄ (CDD') nên AA' ∥ (CDD').
c) (AI giải đề cho tôi)
AC ∥ A'C' và AB' ∥ DC' (AB'C'D là hình bình hành), hai đường thẳng cắt nhau trong (B'AC) lần lượt song song với (DA'C') nên hai mặt phẳng song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
M = (2/3,1/3,1/3), N = (1/3,2/3,2/3). (MDC): y + 2z = 1; (NA'B'): y + 2z = 2. Cùng pháp tuyến (0,1,2) nhưng khác hằng số nên hai mặt phẳng song song phân biệt, không cắt nhau; khẳng định sai.