Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang có $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M$ thuộc cạnh $SD$ sao cho $MD=2MS$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $(IGM)\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh $(IGM)\parallel (SBC)$ bằng phương pháp vectơ, gốc $I$.

Vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD$, tam giác $IAB$ đồng dạng tam giác $ICD$ (cạnh tương ứng tỉ lệ $1:2$) nên $\overrightarrow{IC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IA}$, $\overrightarrow{ID}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IB}$.

Đặt $\overrightarrow{IA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{IB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{IS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{IC}=-\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{ID}=-\frac{1}{2}\vec{b}$.

1) Chứng minh $IG\parallel (SBC)$: Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên
$$\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=\frac{1}{3}\left(\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}\right)=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}.$$
Mặt khác $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}=-\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$, suy ra $\overrightarrow{IG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $IG\parallel BC\parallel (SBC)$.

2) Chứng minh $GM\parallel (SBC)$: Vì $M\in SD$, $MD=2MS$ nên
$$\overrightarrow{IM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{ID}+\frac{2}{3}\overrightarrow{IS}=-\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{s}.$$
Suy ra
$$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IG}=\frac{2}{3}\vec{s}-\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}.$$
Gọi $N$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{IN}-\vec{s}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}\right)-\vec{s}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{s}$, do đó
$$\overrightarrow{GM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{SN}.$$
Vậy $GM\parallel SN\subset (SBC)$, tức $GM\parallel (SBC)$.

Kết hợp: trong mặt phẳng $(IGM)$, hai đường thẳng $IG$ và $GM$ cắt nhau tại $G$, đồng thời $IG\parallel (SBC)$, $GM\parallel (SBC)$, với $(IGM)\not\subset (SBC)$. Theo định lí về mặt phẳng song song, ta có
$$(IGM)\parallel (SBC).$$