Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$
b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$
c) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x-1}$
d) $y=\frac{\cos x}{\sin x+1}$
e) $y=\frac{\cot x}{\cos x-1}$
f) $y=\tan x+\cot x$.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+1$
b) $y=2\sqrt{\cos x+1}-3$.
c) $y=\sin x+\cos x$

Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
a) $y=\sin x$ trên khoảng $\left(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2}\right)$;

b) $y=\cos x$ trên khoảng $(-20\pi ;-19\pi )$, $(-9\pi ;-8\pi )$.

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) $y=\sin x\cdot \cos x$
b) $y=\tan x+\cot x$;
c) $y={\sin }^{2}x$.

Giải các phương trình sau:
a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$ c) $\sin 3x-\cos 5x=0$ d) ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$

e) $\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$ f) $\sin x+\cos x=0$ g) $\tan 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ h) $\tan \left(2x+10^0\right)=\tan 60^0$

k) $\cot 4x=\sqrt{3}$ l) $\cot \left(x+2\right)=1$.

Giải phương trình
a) $\sin 2x-\cos x=0$ b) $\sin x\cos 2x=\sin 2x\cos 3x$ c) $\sin 2x=\cos 3x$

Tìm nghiệm của các phương trình sau với điều kiện tương ứng

a) $\sin \left(2x+\frac{2\pi }{5}\right)=0$ với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ b) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=-1$ với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất ở vị trí $A$ để ngắm các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng mục tiêu $B$ cách mặt đất $40m$ tại góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương bắn với phương ngang). Nếu tăng góc ngắm đó lên 2 lần thì vận động viên bắn trúng mục tiêu $C$ cách mặt đất $90m$ (hình vẽ). Khi đó khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng bao nhiêu mét?

Trong Hình 5, ba điểm $M,N,P$ nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài $31m$, độ cao của điểm $M$ so với mặt đất là $30m$, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc $(OA,OM)$ là $\alpha$.



Tính chiều cao của điểm $P$ so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức căng của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120 / 80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số $p\left(t\right)=125+15\sin \left(160\pi t\right)$ trong đó $p\left(t\right)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo phút. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố Boston (nước Mỹ) trong ngày thứ $t$ của năm 2023 được tính gần đúng bởi hàm số $d\left(t\right)=3,11.\sin \left(\frac{2\pi }{365}t-\frac{323\pi }{730}\right)+12,19$ với $t\in \mathbb{Z}$, $0\le t\le 365$.

(Nguồn: The Old Farmer's Almanac, www.almanac.com/rise)

a) Vào ngày 1 tháng 4 của năm 2023, tức là ngày thứ 91 trong năm, thành phố Boston có bao nhiêu giờ có ánh sáng mặt trời (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
b) Ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất trong năm gọi là ngày Hạ chí, ngày có ít giờ ánh sáng nhất trong năm gọi là ngày Đông chí. Ngày thứ bao nhiêu trong năm 2023 là ngày Hạ chí đối với thành phố Boston (đồng thời cũng là ngày Hạ chí đối với bán cầu Bắc)?

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0\le t<24)$ cho bởi công thức
$$h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12.$$ Tìm $t$ để độ sâu của mực nước là
a) 15 m b) 9 m c) 10,5 m

Học sinh An tiến hành làm một thí nghiệm trên một con lắc đơn. Tại vị trí cân bằng, An tác động một lực lên con lắc theo phương ngang. Từ các kết quả thí nghiệm cho thấy, An tính được con lắc dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình $s=2\sqrt{2}\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)$ với $s(cm)$ là độ dài cung quét của con lắc từ một vị trí bất kì tại thời điểm $t$ (giây) đến vị trí cân bằng. Con lắc đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây?

Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số $(u_n)$ sau:
a) $u_n=(-1{)}^{n-1}\frac{n}{2n-1}$ b) $u_1=1,u_n=n-u_{n-1}(n\ge 2)$.

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số $(u_n)$, biết:
a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$ b) $u_n=\frac{3^n}{2^n\cdot n!}$ c) $u_n=(-1{)}^n\cdot \left(2^n+1\right)$.

Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_n=\frac{an+2}{n+1}$ với $a$ là số thực. Tìm $a$ để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

Chứng minh rằng:
a) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=\sqrt{n^2+1}$ bị chặn dưới;
b) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=-n^2-n$ bị chặn trên;
c) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Chứng minh rằng dãy số $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}$ tăng và bị chặn trên.

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$.

Anh Hùng vừa được tuyển dụng vào một công ty, được cam kết lương năm đầu sẽ là 150 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 18 triệu đồng. Gọi $T_n$ (triệu đồng) là lương năm thứ $n$ mà anh Hùng làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có
$$T_1=150,T_n=T_{n-1}+18,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2.$$
1) Tính lương của anh Hùng vào năm thứ 3 làm việc cho công ty.
2) Chứng minh $\left(T_n\right)$ là dãy số tăng.

Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=3-2n$ là cấp số cộng, tìm số hàng đầu $u_1$ và công sai $d$.

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hàng đầu $u_1=-3$, công sai $d=5$.
a) Viết công thức của số hàng tổng quát $u_n$.
b) Số 492 là số hàng thứ máy của cấp số cộng trên?
c) Số 300 có là số hàng nào của cấp số cộng trên không?

Tìm số hàng đầu và công sai của cấp số cộng $\left(u_n\right)$, biết $u_5=19,u_9=35$.

Tính tổng 100 số hàng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$, biết $u_n=0,3n+5$.

Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

Xác định $a$ để 3 số $1+2a;2a^2-1;-2a$ theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?

Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=9$ và công sai $d=2$. Giá trị của $u_2$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng có $u_1=3$ và công sai $d=4$. Biết tổng $n$ số hàng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$ là $S_n=253$. Tìm $n$.

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát là $u_n=3n-2$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=-3$, $u_6=27$. Tính công sai $d$.

Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=5$ và tổng của 50 số hàng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hàng tổng quát $u_n$.

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}{u}_4=10\\ u_4+u_6=26\end{array}$ có công sai là

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_4=-12$, $u_{14}=18$. Tính tổng 16 số hàng đầu tiên của cấp số cộng này.

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=-2$ và công sai $d=3$. Tìm số hạng $u_{10}$.

Cho cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_2=3$ và $u_4=7$. Giá trị của $u_{15}$ bằng

Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?

Một đồng hồ đánh giờ, khi kim giờ chỉ số $n$ (từ 1 đến 12) thì đồng hồ đánh đúng $n$ tiếng. Hỏi trong một ngày (24 giờ) đồng hồ đánh được bao nhiêu tiếng?

Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ tạo thành tam giác $A_2{B}_2{C}_2$, trung điểm của các cạnh tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ tạo thành tam giác $A_3{B}_3{C}_3$ … Gọi $P_1,P_2,P_3,...$ lần lượt là chu vi của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, $A_3{B}_3{C}_3,...$. Tính tổng chu vi $P=P_1+P_2+P_3+...$

Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lượng của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lượng sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lượng một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti.

Chứng minh mỗi dãy số $(u_n)$ với số hàng tổng quát như sau là cấp số nhân. Chỉ ra số hàng đầu $u_1$ và công bội $q$:
a) $u_n=\frac{-3}{4}.2^n$;
b) $u_n=(-0,75{)}^n$

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=-5$, công bội $q=2$.
a) Tim $u_9$
b) Số $-320$ là số hạng thứ máy của cấp số nhân trên?
c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=-5;u_3=\frac{27}{4}$. Tìm công bội $q$ của $(u_n)$, biết $q>0$.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_3=16$ và $u_2+u_4=40$. Tìm số hàng đầu $u_1$ công bội $q$ của cấp số nhân đó, biết $q>1$.

Xác định $x$ để 3 số $2x-1;x;2x+1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:

Trong các dãy số $(u_n)$ sau, dãy nào là cấp số nhân?

Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

Cho dãy số: $-1;1;-1;1;-1;\dots$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-2$ và công bội $q=3$. Số hạng $u_2$ là:

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3$ và $q=\frac{2}{3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_n=81$ và $u_{n+1}=9$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\dots ;\frac{1}{4096}$. Hỏi số $\frac{1}{4096}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và $u_2=-8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=3$ và $q=-2$. Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3$ và $q=-2$. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-6$ và $q=-2$. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm $n$.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2=-6$ và $u_6=-486$. Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho, biết rằng $u_3>0$.

Cho cấp số nhân $(u_n)$; $u_1=1,q=2$. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

Cho một cấp số nhân có các số hàng đều không âm thỏa mãn $u_2=6$, $u_4=24$. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

Tổng $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^n}+\cdots$ có giá trị là:

Cho cấp số nhân có số hàng đầu $u_1=-2$, công bội $q=\frac{3}{4}$. Số $-\frac{81}{128}$ là số hàng thứ mấy của cấp số này?

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},...,\frac{(-1{)}^2}{2^n},...$ là.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích $S_1$. Nối 4 trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ theo thứ tự của 4 cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ có diện tích $S_3$, …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích $S_4$, $S_5$, ..., $S_{100}$ (tham khảo hình bên). Tính tổng $S=S_1+S_2+S_3+...+S_{100}$.

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12\% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32\% giá trị chiếc xe?

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{6n-5}{3n}$.

b) $\lim \frac{-2n^2-6n+2}{8n^2-5n+4}$.

c) $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}$.

d) $\lim \frac{-4n+1}{9n^2-n+2}$.

e) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+n+1}}{8n+3}$.

d) $\lim \frac{4^n+5^n}{3.4^n-4.5^n}$.

g) $\lim \left(5-\frac{2}{n^3}\right)$

h) $\lim \left(4-\frac{2}{n}\right)\left(5+\frac{1}{3^n}\right)$

i) $\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{2^n}$

Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_n$ là độ cao mà quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_n)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $(h_n)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_n)$.
c) Gọi $S_n$ là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $n$. Tính $S_n$, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

Cho các dãy số $(u_n)$, $(v_n)$ và $\lim u_n=a$, $\lim v_n=+\infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$ bằng

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) $\lim n^k=+\infty$ với $k$ nguyên dương.
(II) $\lim q^n=+\infty$ nếu $|q|<1$.
(III) $\lim q^n=+\infty$ nếu $q>1$

Tính $L=\lim \frac{n-1}{n^3+3}$.

Giới hạn $\lim \frac{1-2n}{3n+1}$ bằng?

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ có $u_n=\frac{1}{n+1}$; $v_n=\frac{3}{n+3}$. Tính $\lim \frac{u_n}{v_n}$.

$\lim \frac{100^{n+1}+3.99^n}{10^{2n}-2.98^{n+1}}$ là

$\lim \left(3^n-4^n\right)$ là

Tính giới hạn $\lim \frac{3.2^{n+1}-2.3^{n+1}}{4+3^n}$ .

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{1+2+3+...+n}{n^2+1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính giới hạn $L=\lim \frac{n^3-2n}{3n^2+n-2}$

Tính giới hạn của dãy số $u_n=\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}$

$\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}$ bằng

Tính giới hạn $\lim \left(n-\sqrt{n^2-4n}\right)$ .

Tổng vô hạn sau đây $S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^n}+...$ có giá trị bằng

Từ độ cao $55,8\mathrm{m}$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Tính các giới hạn sau:

a) ${\lim }_{x\to 3}(-x^2+x+2)$;

b) ${\lim }_{x\to -1}\frac{3x^2-2x+1}{3x-2}$;

c) ${\lim }_{x\to 2}\sqrt{5x^2+x+4}$.

Tính các giới hạn sau:

a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x^2+2}$.

b) ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{1}{x-3}$.

c) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x+2}{4x-5}$.

d) ${\lim }_{x\to 1}\frac{3x^2-4x+1}{x-1}$.

Tính các giới hạn sau:

a) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-5x+2}{3x+1}$.

b) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$.

c) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$.

d) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$.

e) ${\lim }_{x\to 1}\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$.

g) ${\lim }_{x\to -3}\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$.

Cho ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$. Chứng minh rằng: ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)}{2}=1$.

Cho ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}=3$. Tìm ${\lim }_{x\to 2}f(x)$.

Cho ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)-4}{x-1}=2$. Tính:

a) ${\lim }_{x\to 1}f(x)$.

b) ${\lim }_{x\to 1}3f(x)$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2022$. Tính ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}$.

Giá trị của ${\lim }_{x\to 1}(2x^2-3x+1)$ bằng

Cho ${\lim }_{x\to 3}f(x)=-2$. Tính ${\lim }_{x\to 3}\left[f(x)+4x-1\right]$.

Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng $-\infty$?