Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng $(AFD)//(BEC)$.
b) Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Mặt phẳng $(P)$ cắt đường thẳng $AC$ tại $N$. Tính $\frac{AN}{NC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài giải Câu 138.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $DC\parallel AB$ và $DC=AB$. Vì ABEF là hình bình hành nên $BE\parallel AF$ (tức $BE\parallel AF$) và $EF\parallel AB$, $EF=-AB$.

Suy ra $DC\parallel EF$ và $DC=EF$ (cùng dài bằng $AB$, cùng hướng với $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{FE}$), do đó tứ giác $DCEF$ là hình bình hành, nên $EC\parallel FD$.

Xét hai mặt phẳng $(AFD)$ và $(BEC)$:
- $BE\parallel AF$, với $AF\subset (AFD)$, $BE\subset (BEC)$, $AF$ không nằm trong $(BEC)$.
- $EC\parallel FD$, với $FD\subset (AFD)$, $EC\subset (BEC)$, $FD$ không nằm trong $(BEC)$.
- Hai đường thẳng $BE$ và $EC$ cắt nhau tại $E$ và cùng nằm trong $(BEC)$; hai đường thẳng $AF$ và $FD$ cắt nhau tại $F$ và cùng nằm trong $(AFD)$.

Vậy $(AFD)\parallel (BEC)$.

b) Ta có $AF\parallel BE$ nên $BE\parallel (AFD)$ (vì $AF\subset (AFD)$, $BE\not\subset (AFD)$). Mà $(P)\parallel (AFD)$ nên $BE\parallel (P)$.

Xét mặt phẳng $(ABE)$: $(P)$ cắt $(ABE)$ theo giao tuyến $d$ đi qua $M$ và song song với $BE$. Gọi $d\cap AB=I$. Vì $M$ là trọng tâm tam giác $ABE$ nên đường thẳng qua $M$ song song với $BE$ cắt $AB$ tại $I$ thỏa mãn
$$\frac{AI}{IB}=\frac{2}{1}=2$$
(tính chất đường trung bình: $AI=\frac{2}{3}AB$).

Vì $AD\subset (AFD)$ nên $AD\parallel (P)$. Xét mặt phẳng $(ABCD)$: $(P)\cap (ABCD)=d^{\prime }$ là đường thẳng đi qua $I$ (vì $I\in AB\subset (ABCD)$ và $I\in (P)$) và song song với $AD$. Gọi $d^{\prime }\cap AC=N$ (chính là $N=(P)\cap AC$).

Trong tam giác $ABC$, ta có $I\in AB$, $IN\parallel BC$ (vì $BC\parallel AD$ theo hình bình hành $ABCD$). Theo định lý Thales:
$$\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=2.$$

Vậy $\frac{AN}{NC}=2$.

(Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A$ là gốc, $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$, $\overrightarrow{AE}=\mathbf{e}$; khi đó $F=\mathbf{e}-\mathbf{b}$, $M=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{e}}{3}$, mặt phẳng qua $M$ song song $(AFD)$ có pháp tuyến $(\mathbf{e}-\mathbf{b})\times \mathbf{d}$; thay điểm $t(\mathbf{b}+\mathbf{d})$ trên $AC$ cho $t=\frac{2}{3}$, tức $\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{AN}{NC}=2$ — khớp với kết quả trên.)