Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Chứng minh rằng $AM//(A^{\prime }NC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ tam giác nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$; do đó $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác bằng tam giác $ABC$ dịch chuyển theo vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Gọi $u=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=u$.

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AM}$.

Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\overrightarrow{AM}$, suy ra tứ giác $AMN{A}^{\prime }$ là hình bình hành, do đó $AM\parallel A^{\prime }N$.

Mà $A^{\prime }N\subset (A^{\prime }NC)$, nên $AM\parallel (A^{\prime }NC)$ hoặc $AM\subset (A^{\prime }NC)$.

Xét mặt phẳng $(A^{\prime }NC)$: nó chứa $A^{\prime },C$ và $N$ với $N$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Nếu $A\in (A^{\prime }NC)$ thì $(A^{\prime }NC)=(A{A}^{\prime }C)$, tức là mặt phẳng chứa mặt bên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$; khi đó $N$ phải nằm trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, điều này vô lý vì $N\in B^{\prime }{C}^{\prime }$ mà $B^{\prime }\notin (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ (tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ chỉ có $A^{\prime },C^{\prime }$ thuộc mặt phẳng đó). Vậy $A\notin (A^{\prime }NC)$.

Kết hợp $AM\parallel A^{\prime }N$, $A^{\prime }N\subset (A^{\prime }NC)$ và $A\notin (A^{\prime }NC)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta kết luận $AM\parallel (A^{\prime }NC)$. $■$