Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,SB$.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDN)$.
b) Chứng minh rằng đường thẳng $CN$ song song với mặt phẳng $(SAM)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 135.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,SB$.

**a) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(CDN)$:**

Ta có $AB\parallel CD$ mà $CD\subset (CDN)$, $AB\not\subset (CDN)$ nên $AB\parallel (CDN)$.

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDN)$ có điểm chung $N$ (vì $N\in SB\subset (SAB)$ và $N\in (CDN)$). Theo định lý về giao tuyến, giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(CDN)$ đi qua $N$ và song song với $AB$.

Vậy giao tuyến là đường thẳng $d$ đi qua $N$ và $d\parallel AB$ (tức $d\parallel CD$).

**b) Chứng minh $CN\parallel (SAM)$:**

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, đường thẳng $AM$ không song song với $BC$. Thật vậy, nếu $AM\parallel BC$ thì vì $MC\subset CD\parallel AB$ ta có $AB\parallel MC$ và $AM\parallel BC$, suy ra tứ giác $ABCM$ là hình bình hành, khi đó $MC=AB$. Nhưng $MC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$, mâu thuẫn.

Vậy $AM$ cắt đường thẳng $BC$ tại một điểm $E$.

Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel ME$ (với $M,E$ thuộc đường thẳng $CD$, $E$ nằm ngoài đoạn $CD$, phía qua $C$). Xét tam giác $EAB$ có $M$ là trung điểm của $EC$ (do $M$ là trung điểm $CD$ và $AB\parallel ME$ với $E,C,D$ thẳng hàng, $ME=CD=AB$), suy ra $C$ là trung điểm của $BE$ và $AB=ME$.

Xét tam giác $SBE$: $N$ là trung điểm của $SB$, $C$ là trung điểm của $BE$, do đó $NC$ là đường trung bình của tam giác $SBE$, suy ra:
$$CN\parallel SE.$$

Mà $SE\subset (SAM)$ (vì $S\in (SAM)$ và $E\in AM\subset (SAM)$) và $C\notin (SAM)$ (vì $(SAM)\cap (ABCD)=AM$, còn $C\notin AM$).

Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có:
$$CN\parallel (SAM).$$

Điều phải chứng minh.