Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB,AC$ sao cho $AE=\frac{1}{2}BE$ và $AF=2CF$. Gọi $O$ là một điểm nằm trong tam giác $BCD$.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(OEF)$ và $(ABD)$.

b) Xác định giao điểm (nếu có) của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(OEF)$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải chi tiết:

Ta có $AE=\frac{1}{2}BE\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$ và $AF=2CF\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$. Vì $O$ nằm trong tam giác $BCD$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$.

a) Xác định giao tuyến của $(OEF)$ và $(ABD)$:

- Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $K=EF\cap BC$. Vì $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}\ne \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$ nên $EF$ không song song $BC$, do đó $K$ xác định (tọa độ: với $B,C$ làm mốc, $K=-\frac{1}{3}B+\frac{4}{3}C$, tức $K$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía sau $C$ với $CK=\frac{1}{3}BC$).
- Ta có $K\in EF\subset (OEF)$ và $K\in BC\subset (BCD)$, nên $(OEF)\cap (BCD)=OK$.
- Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $I=OK\cap BD$ (do $K$ nằm ngoài tam giác $BCD$ và $O$ nằm trong tam giác nên đường thẳng $OK$ cắt cạnh $BD$ tại $I$ thuộc đoạn $BD$).
- Khi đó $I\in BD\subset (ABD)$ và $I\in (OEF)$; lại có $E\in AB\subset (ABD)$ và $E\in (OEF)$.

Vậy giao tuyến của $(OEF)$ và $(ABD)$ là đường thẳng $EI$.

b) Xác định giao điểm của $AD$ và $(OEF)$:

- Vì $AD\subset (ABD)$ nên $AD\cap (OEF)=AD\cap EI$ (giao của hai đường thẳng trong mặt phẳng $(ABD)$).
- Trong mặt phẳng $(ABD)$: $E$ nằm trong đoạn $AB$, $I$ nằm trong đoạn $BD$, nên đường thẳng $EI$ cắt đường thẳng $AD$ tại một điểm $P$ xác định (trường hợp riêng $EI\parallel AD$ thì không có giao điểm, nhưng với vị trí điểm $O$ tùy ý trong tam giác $BCD$, nói chung $P$ tồn tại).
- Khi đó $P\in AD$ và $P\in EI\subset (OEF)$.

Vậy giao điểm của $AD$ và $(OEF)$ là $P=AD\cap EI$ (nếu $EI$ không song song với $AD$; khi $EI\parallel AD$ thì $AD$ song song với mặt phẳng $(OEF)$ và không có giao điểm).