Cho tứ diện $ABCD$. Gọi hai điểm $E$ và $A^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và tam giác $ACD$. Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BE$. Tính tỉ số $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}$.

Một căn nhà lắp ghép có dạng hình chóp cụt $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$; Nền nhà là hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=10\left(m\right)$, chiều rộng $AD=6\left(m\right)$. Giả sử căn nhà được gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A$ trùng với gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là mét). Biết tọa độ điểm $A_1(8;8;6)$. Chủ nhà gắn một mắt Camera trên bức vách $AD{D}_1{A}_1$. Hỏi Camera cách điểm $C$ một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét (Bỏ qua độ dày của Camera)?

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $SA=AB=4\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.

Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ được gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước và xem như trục $Oy$ cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp $AD$ (được xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh $D$ thuộc trục $Oz$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $Oyz$, biết rằng điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước $227m$, điểm $A$ cách mặt nước $75m$ và cách trục $Oz$ $343m$, biết rằng 1 đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với $1m$ trên thực tế.

Một khối gỗ hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=30$ cm, $AD=20$ cm, cạnh bên $SA=40$ cm và vuông góc với mặt đáy. Từ khối gỗ người ta cắt gọt để được một khối lập phương có ba mặt nằm trong ba mặt của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Trong trường hợp khối lập phương thu được có thể tích lớn nhất thì cạnh của nó bằng bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một khối gỗ hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=30cm$, $AD=20cm$, cạnh bên $SA=40cm$ và vuông góc với mặt đáy. Từ khối gỗ người ta cắt gọt để được một khối lập phương có ba mặt nằm trong ba mặt của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Trong trường hợp khối lập phương thu được có thể tích lớn nhất thì cạnh của nó bằng bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên trục tính theo mét) như hình vẽ sau: Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $Q\left(0;2,4;1,8\right)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $A{A}^{\prime }$. Dây cáp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $Q$ kéo đến điểm $M$, rồi từ $M$ nối với bóng đèn tại vị trí $P$. Biết rằng $C^{\prime }\left(6;5;4\right)$, tính độ dài nhỏ nhất của dây cáp điện cho bóng đèn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).