Một khối gỗ hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=30cm$, $AD=20cm$, cạnh bên $SA=40cm$ và vuông góc với mặt đáy. Từ khối gỗ người ta cắt gọt để được một khối lập phương có ba mặt nằm trong ba mặt của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Trong trường hợp khối lập phương thu được có thể tích lớn nhất thì cạnh của nó bằng bao nhiêu cm? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên trục tính theo mét) như hình vẽ sau: Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $Q\left(0;2,4;1,8\right)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $A{A}^{\prime }$. Dây cáp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $Q$ kéo đến điểm $M$, rồi từ $M$ nối với bóng đèn tại vị trí $P$. Biết rằng $C^{\prime }\left(6;5;4\right)$, tính độ dài nhỏ nhất của dây cáp điện cho bóng đèn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;1)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Độ dài đoạn thẳng $3OH$ bằng bao nhiêu?

(1,5 điểm) Trong tiết hoạt động thực hành và trải nghiệm môn Toán tại sân trường, cô giáo giao nhiệm vụ cho học sinh lớp 12A thực hành bài toán sau:
Hai khu vực bồn hoa được các cựu học sinh xây dựng tặng nhà trường có dạng như Hình 1, gồm có:
- Bồn hoa 1: Viền ngoài bồn hoa có dạng cung parabol;
- Bồn hoa 2: Có dạng hình tròn;
- Một hàng rào nhỏ được trang trí nối giữa hai bồn hoa.
Hãy đo khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa.
Sau khi thực nghiệm đo nhiều lần khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa, các bạn lớp 12A đã đo đạc và mô tả kích thước trong thực tế như Hình 2.

Hình 1

Hình 2
Với kích thước trong thực tế như Hình 2, em hãy giải bài toán sau để kiểm chứng kết quả thực nghiệm:
Bài toán. Xét điểm $M$ trên cung parabol $\widehat{AnB}$ và điểm $N$ trên đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{OID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m(\text{kg})$ của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{O^{\prime }ID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m$ (kg) của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$ và $B(2;-3;-5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Biết giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ có dạng $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ $(a,b,c\in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố$)$. Tính $a+b+c$