Hàm số $y=f(x)=x+{\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ có đồ thị (C).

a) Điều kiện xác định: $\frac{x+22}{x+1}>0\Rightarrow (x+22)(x+1)>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-22)\cup (-1;+\infty )$. (Sai)

b) Đạo hàm hàm số: $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+22)\ln 2}-\frac{1}{(x+1)\ln 2}=1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}$. (Đúng)

c) Xét phương trình $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}=0\Rightarrow (x+22)(x+1)=\frac{21}{\ln 2}$ có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng xác định hàm số. (Có thể lập bảng biến thiên). Vậy hàm số có 2 cực trị. (Đúng)

d) Các điểm có tọa độ $(x;y)$ nguyên dương thì khi đó: ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}=y-x$ cũng phải nguyên dương. Mặt khác: $\frac{x+22}{x+1}$ nghịch biến với $x>0$ nên $\frac{22}{1}=22>\frac{x+22}{x+1}>1$. Nên để ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ nguyên dương thì $\frac{x+22}{x+1}\in \{2;4;8;16\}$. Giải các trường hợp với điều kiện $x$ nguyên: với $\frac{x+22}{x+1}=2\Rightarrow x=20$, $y=21$; với $\frac{x+22}{x+1}=4\Rightarrow x=6$, $y=8$; với $\frac{x+22}{x+1}=8\Rightarrow x=2$, $y=5$; với $\frac{x+22}{x+1}=16\Rightarrow x=\frac{6}{5}$ (loại). Vậy các cặp tọa độ $(x;y)\in \{(20;21);(6;8);(2;5)\}$. Ba điểm này không thẳng hàng (hệ số góc giữa $(2;5)$ và $(6;8)$ là $\frac{3}{4}$, giữa $(6;8)$ và $(20;21)$ là $\frac{13}{14}$), nên đa giác tạo bởi chúng là tam giác có diện tích $S=\frac{1}{2}\left|18\cdot 3-16\cdot 4\right|=5\ne 10$ (đơn vị diện tích). (Sai)
a) Điều kiện xác định: $\frac{x+22}{x+1}>0\Rightarrow (x+22)(x+1)>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-22)\cup (-1;+\infty )$. (Sai)
b) Đạo hàm hàm số: $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+22)\ln 2}-\frac{1}{(x+1)\ln 2}=1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}$. (Đúng)
c) Xét phương trình $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}=0\Rightarrow (x+22)(x+1)=\frac{21}{\ln 2}$ có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng xác định hàm số. (Có thể lập bảng biến thiên). Vậy hàm số có 2 cực trị. (Đúng)
d) Các điểm có tọa độ $(x;y)$ nguyên dương thì khi đó: ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}=y-x$ cũng phải nguyên dương. Mặt khác: $\frac{x+22}{x+1}$ nghịch biến với $x>0$ nên $\frac{22}{1}=22>\frac{x+22}{x+1}>1$. Nên để ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ nguyên dương thì $\frac{x+22}{x+1}\in \{2;4;8;16\}$. Giải các trường hợp với điều kiện $x$ nguyên: với $\frac{x+22}{x+1}=2\Rightarrow x=20$, $y=21$; với $\frac{x+22}{x+1}=4\Rightarrow x=6$, $y=8$; với $\frac{x+22}{x+1}=8\Rightarrow x=2$, $y=5$; với $\frac{x+22}{x+1}=16\Rightarrow x=\frac{6}{5}$ (loại). Vậy các cặp tọa độ $(x;y)\in \{(20;21);(6;8);(2;5)\}$. Ba điểm này không thẳng hàng (hệ số góc giữa $(2;5)$ và $(6;8)$ là $\frac{3}{4}$, giữa $(6;8)$ và $(20;21)$ là $\frac{13}{14}$), nên đa giác tạo bởi chúng là tam giác có diện tích $S=\frac{1}{2}\left|18\cdot 3-16\cdot 4\right|=5\ne 10$ (đơn vị diện tích). (Sai)