Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=2$, $AD=4$, số đo góc nhị diện $\left[D^{\prime },AB,D\right]$ bằng $45^{\circ }$.

a) Ta có $ABD=90^{\circ }$ (do $A,B,C,D$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$). Do $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow D{D}^{\prime }\perp AB$, mà $BD\perp AB\Rightarrow AB\perp (BD{D}^{\prime })\Rightarrow AB\perp B{D}^{\prime }\Rightarrow DB{D}^{\prime }=45^{\circ }$. Nên $\tan DB{D}^{\prime }=\frac{D{D}^{\prime }}{BD}\Rightarrow D{D}^{\prime }=BD=2\sqrt{3}$. Lại có $\left(A^{\prime }B,(ABCD)\right)=B{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, $\tan B{A}^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{B{B}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\sqrt{3}\Rightarrow B{A}^{\prime }{B}^{\prime }=60^{\circ }$.



b) Diện tích đáy bằng 3 lần diện tích tam giác đều cạnh 2: $S_{ABCD}=3S_{ABD}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=3\sqrt{3}$; $V=h\cdot S_{ABCD}=2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=18$.

c) Ta có: $d(AD,A^{\prime }C)=d\left(AD,(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)=d\left(A,(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)=d\left(B^{\prime },(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)$. Mà $B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ diện vuông nên $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{(B{A}^{\prime }{)}^2}+\frac{1}{(B{B}^{\prime }{)}^2}+\frac{1}{(B{D}^{\prime }{)}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{(2\sqrt{3}{)}^2}+\frac{1}{(2\sqrt{3}{)}^2}=\frac{5}{12}$ $\Rightarrow h=\frac{2\sqrt{15}}{5}$, trong đó $h=d\left(B^{\prime },(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)=d(AD,A^{\prime }C)$.

d) Ta có $V_2=V_{A^{\prime }BC{D}^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=V_{A^{\prime }{B}^{\prime }DB}+V_{D\cdot BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}+\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=6$ $\Rightarrow V_1=V-V_2=18-6=12\Rightarrow V_1=2V_2$.
a) Ta có $ABD=90^{\circ }$ (do $A,B,C,D$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$). Do $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow D{D}^{\prime }\perp AB$, mà $BD\perp AB\Rightarrow AB\perp (BD{D}^{\prime })\Rightarrow AB\perp B{D}^{\prime }\Rightarrow DB{D}^{\prime }=45^{\circ }$. Nên $\tan DB{D}^{\prime }=\frac{D{D}^{\prime }}{BD}\Rightarrow D{D}^{\prime }=BD=2\sqrt{3}$. Lại có $\left(A^{\prime }B,(ABCD)\right)=B{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, $\tan B{A}^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{B{B}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\sqrt{3}\Rightarrow B{A}^{\prime }{B}^{\prime }=60^{\circ }$.
b) Diện tích đáy bằng 3 lần diện tích tam giác đều cạnh 2:
$$S_{ABCD}=3S_{ABD}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=3\sqrt{3}$$
$$V=h\cdot S_{ABCD}=2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=18$$
c) Ta có: $d(AD,A^{\prime }C)=d\left(AD,(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)=d\left(A,(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)=d\left(B^{\prime },(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)$. Mà $B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ diện vuông nên
$$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{(B{A}^{\prime }{)}^2}+\frac{1}{(B{B}^{\prime }{)}^2}+\frac{1}{(B{D}^{\prime }{)}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{(2\sqrt{3}{)}^2}+\frac{1}{(2\sqrt{3}{)}^2}=\frac{5}{12}$$
$$\Rightarrow h=\frac{2\sqrt{15}}{5},\text{trong đoˊ }h=d\left(B^{\prime },(A^{\prime }BC{D}^{\prime })\right)=d(AD,A^{\prime }C)$$
d) Ta có
$$V_2=V_{A^{\prime }BC{D}^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=V_{A^{\prime }{B}^{\prime }DB}+V_{D\cdot BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$$
$$=\frac{1}{6}\cdot B^{\prime }A\cdot B{B}^{\prime }\cdot B^{\prime }{D}^{\prime }+\frac{1}{3}\cdot d\left(D^{\prime },(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\right)\cdot S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$$
$$=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}+\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=6$$
$$\Rightarrow V_1=V-V_2=18-6=12\Rightarrow V_1=2V_2$$