Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$) có $f(0)=1$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Biết $\underset{[-4;-3]}{\max }f(x)=\frac{m}{n}$ (với $m,n\in \mathbb{Z};n>0;\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+2n$ bằng

Một cửa hàng kinh doanh giày và giá để nhập một đôi giày là 40 đô la. Theo nghiên cứu của bộ phận kinh doanh thì nếu cửa hàng bán mỗi đôi giày với giá $x$ đô la thì mỗi tháng sẽ bán được $120-x$ đôi giày. Hỏi cửa hàng bán giá bao nhiêu cho một đôi giày để có thể thu lãi cao nhất trong tháng.

Có hai tàu điện ngầm $A$ và $B$ chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\ge 0)$, vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $\{\begin{array}{l}x=7+36t\\ y=-8+8t\end{array}$, vị trí của tàu $B$ có tọa độ là $(9+8t;5-36t)$. Sau thời gian $\frac{a}{b}$ giờ di chuyển kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất. Biết $a,b\in \mathbb{N},\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $b-a$.

Bộ phận bán hàng của một công ty chuyên sản xuất máy công nghiệp ước tính rằng với $q$ sản phẩm được sản xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là $C\left(q\right)=8q^2+40q+1400$ (triệu đồng) và mỗi sản phẩm công ty bán với giá $P\left(q\right)=1400-2q$ (triệu đồng).

Lưu lượng ô tô vào một đường hầm được cho bởi công thức $f(v)=\frac{290,4v}{0,36v^2+13,2v+246}$ (xe/giây), trong đó $v$ (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Vận tốc trung bình của xe khi vào đường hầm là bao nhiêu km/h thì lưu lượng xe đạt lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một vòng dây kẽm có dạng đường tròn bán kính $R=\frac{6}{\pi }$dm. Người ta cắt vòng dây kẽm này rồi chia làm hai phần để uốn thành hai hình gồm một tam giác vuông cân và một hình bán nguyệt. Khi tổng diện tích hai hình trên đạt giá trị nhỏ nhất thì tỉ số giữa đoạn dây được uốn thành tam giác vuông cân đối với đoạn dây được uốn thành hình bán nguyệt bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng $AB=4km$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng $BC=7km$. Người canh hải đăng chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc $6km/h$ rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc $10km/h$. Người đó nên chèo thuyền trong bao nhiêu ki-lô-mét nếu anh ta muốn đến nơi trong thời gian ngắn nhất?