Một vòng dây kẽm có dạng đường tròn bán kính $R=\frac{6}{\pi }$dm. Người ta cắt vòng dây kẽm này rồi chia làm hai phần để uốn thành hai hình gồm một tam giác vuông cân và một hình bán nguyệt. Khi tổng diện tích hai hình trên đạt giá trị nhỏ nhất thì tỉ số giữa đoạn dây được uốn thành tam giác vuông cân đối với đoạn dây được uốn thành hình bán nguyệt bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng $AB=4km$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng $BC=7km$. Người canh hải đăng chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc $6km/h$ rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc $10km/h$. Người đó nên chèo thuyền trong bao nhiêu ki-lô-mét nếu anh ta muốn đến nơi trong thời gian ngắn nhất?

a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi hàm $G(x)=0,025x^2(30-x)$, trong đó $x$ là số miligram thuốc được tiêm cho bệnh nhân $(0<x<30)$. Cần điều trị cho một bệnh nhân bị huyết áp cao, hỏi cần tiêm bao nhiêu miligram thuốc thì huyết áp của bệnh nhân giảm nhiều nhất?
b) Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng $m=5kg$ được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^0$ (Hình).

Biết $\vec{P}=m\vec{g}$ trong đó $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10m/s^2$, $\vec{P}$ là trọng lực tác động vật có đơn vị là $N$, $m$ là khối lượng của vật có đơn vị $kg$. Tính độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Hằng ngày mực nước của một hồ thủy điện lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Tính từ thời điểm 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian $t$ (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+5t^2+24t$ $(t>0)$. Biết ràng phải thông báo cho nhân dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho người dân di dời trước khi xả nước mấy giờ? Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước và đơn vị tính 24 giờ/ngày.

a) Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{3}{t}^3+6t^2+2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Tìm vận tốc lớn nhất của vật.

b) Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A$, $B$ thuộc $(P)$; $C$, $D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox,Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Người ta muốn làm một vật rỗng có dạng là một khối lăng trụ tam giác, có đáy là tam giác đều cạnh bằng $x(cm)$ và mặt bên là các hình chữ nhật có chiều dài bằng $y(cm)$. Biết rằng thể tích của vật bằng $200\sqrt{3}(c{m}^3)$. Tính kích thước của cạnh đáy sao cho diện tích toàn phần của vật nhỏ nhất (làm tròn đến hàng phần chục).

Một công ty kinh doanh bất động sản có 30 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu triệu đồng một tháng để thu được tổng số tiền lớn nhất? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.