Cho các số thực $a,b,c(0<c<2)$ thỏa mãn $$\{\begin{array}{l}{3}^a+{\log }_{3}b+2\sin c=8\\ 3^{a+1}+{\log }_{\sqrt{3}}b-4\sin c=21.\\ 3^{a-1}-{\log }_3\sqrt{b}-6\sin c=1\end{array}$$ Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2-cx+3$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x=3^a$, $y={\log }_{3}b$, $s=\sin c$. Hệ trở thành:
$$x+y+2s=8;3x+2y-4s=21;\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-6s=1.$$
Từ phương trình đầu: $y=8-x-2s$. Thay vào phương trình hai: $3x+16-2x-4s-4s=21\Rightarrow x-8s=5\Rightarrow x=5+8s$.
Thay vào phương trình ba: $\frac{5+8s}{3}-\frac{3-10s}{2}-6s=1$. Nhân 6: $2(5+8s)-3(3-10s)-36s=6\Rightarrow 1+10s=6\Rightarrow s=\frac{1}{2}$.
Suy ra $x=9$, $y=-2$, tức $a=2$, $b=3^{-2}=\frac{1}{9}$; với $0<c<2$ và $\sin c=\frac{1}{2}$ thì $c=\frac{\pi }{6}$ (nghiệm $\frac{5\pi }{6}>2$ bị loại).
Hàm số: $f(x)=2x^3+\frac{1}{9}{x}^2-\frac{\pi }{6}x+3$, có $f^{\prime }(x)=6x^2+\frac{2}{9}x-\frac{\pi }{6}$.
Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=\frac{-\frac{2}{9}\pm \sqrt{\frac{4}{81}+4\pi }}{12}$, tức $x_1\approx 0.27747$, $x_2\approx -0.31450$.
Hai điểm cực trị: $f(x_1)\approx 2.90599$, $f(x_2)\approx 3.11345$, tức $A(0.27747;2.90599)$, $B(-0.31450;3.11345)$.
Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{3.11345-2.90599}{-0.31450-0.27747}\approx -0.35045$, phương trình $y\approx -0.35045x+3.00323$.
Khoảng cách từ $O$: $d=\frac{3.00323}{\sqrt{1+0.35045^2}}\approx \frac{3.00323}{1.05963}\approx 2.8341$.
Vậy kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $d\approx 2.83$.