Cho hàm số $y=\frac{x^3+29x+11}{20x^2+25}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^3+29x+11}{20x^2+25}$.

a) Bậc tử số (3) lớn hơn bậc mẫu số (2) nên đồ thị $(C)$ KHÔNG có tiệm cận ngang. Ta có $y-\frac{x}{20}=\frac{111x+44}{4(20x^2+25)}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận XIÊN $y=\frac{x}{20}=0,05x$, không phải tiệm cận ngang $y=0,05$. Phát biểu a) SAI.

b) $y^{\prime }=\frac{(3x^2+29)(20x^2+25)-40x(x^3+29x+11)}{(20x^2+25{)}^2}=\frac{20x^4-505x^2-440x+725}{(20x^2+25{)}^2}$. Tại $x=-1$: $y^{\prime }(-1)=\frac{680}{2025}=\frac{136}{405}\approx 0,3360$. Góc $\alpha =\arctan (0,3360)\approx 18,56^{\circ }<20^{\circ }$. ĐÚNG.

c) Giải $4x^4-101x^2-88x+145=0$ được 4 nghiệm $x_1\approx -4,2503$, $x_2\approx -1,898$, $x_3\approx 0,849$, $x_4\approx 5,301$. Theo dấu của $y^{\prime }$: cực đại tại $x_1\approx -4,2503$ và $x_3\approx 0,849$; cực tiểu tại $x_2\approx -1,898$ và $x_4\approx 5,301$. Giá trị tương ứng: $y(x_1)\approx -0,4894$, $y(x_2)\approx -0,5242$, $y(x_3)\approx 0,9194$, $y(x_4)\approx 0,5344$. Khoảng cách hai điểm cực đại: $\sqrt{(0,849+4,2503{)}^2+(0,9194+0,4894{)}^2}\approx 5,29$. Khoảng cách hai điểm cực tiểu: $\sqrt{(5,301+1,898{)}^2+(0,5344+0,5242{)}^2}\approx 7,28$. Vì $5,29<7,28$ nên khoảng cách giữa hai điểm cực đại NHỎ HƠN khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu. Phát biểu c) SAI.

d) Bốn điểm cực trị (thứ tự bao lồi): $P_1(-4,2503;-0,4894)$, $P_2(-1,898;-0,5242)$, $P_4(5,301;0,5344)$, $P_3(0,849;0,9194)$. Áp dụng công thức shoelace: $S\approx \frac{10,976}{2}\approx 5,49$. ĐÚNG.

Kết luận: a) SAI; b) ĐÚNG; c) SAI; d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bậc tử số (3) lớn hơn bậc mẫu số (2) nên $(C)$ không có tiệm cận ngang. Vì $y-\frac{x}{20}=\frac{111x+44}{4(20x^2+25)}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, đồ thị có tiệm cận xiên $y=0,05x$, không phải tiệm cận ngang $y=0,05$. SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }(-1)=\frac{680}{2025}=\frac{136}{405}\approx 0,336$, góc $\arctan (0,336)\approx 18,56^{\circ }<20^{\circ }$. ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Nghiệm của $4x^4-101x^2-88x+145=0$: $x_1\approx -4,2503$, $x_2\approx -1,898$, $x_3\approx 0,849$, $x_4\approx 5,301$. Cực đại tại $x_1,x_3$; cực tiểu tại $x_2,x_4$. Khoảng cách hai điểm cực đại $\approx 5,29$; khoảng cách hai điểm cực tiểu $\approx 7,28$; nên khoảng cách cực đại NHỎ HƠN khoảng cách cực tiểu. SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bốn điểm cực trị: $P_1(-4,2503;-0,4894)$, $P_2(-1,898;-0,5242)$, $P_4(5,301;0,5344)$, $P_3(0,849;0,9194)$. Shoelace: $S\approx \frac{10,976}{2}\approx 5,49$. ĐÚNG.