(1,5 điểm) Trong tiết hoạt động thực hành và trải nghiệm môn Toán tại sân trường, cô giáo giao nhiệm vụ cho học sinh lớp 12A thực hành bài toán sau:
Hai khu vực bồn hoa được các cựu học sinh xây dựng tặng nhà trường có dạng như Hình 1, gồm có:
- Bồn hoa 1: Viền ngoài bồn hoa có dạng cung parabol;
- Bồn hoa 2: Có dạng hình tròn;
- Một hàng rào nhỏ được trang trí nối giữa hai bồn hoa.
Hãy đo khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa.
Sau khi thực nghiệm đo nhiều lần khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa, các bạn lớp 12A đã đo đạc và mô tả kích thước trong thực tế như Hình 2.

Hình 1

Hình 2
Với kích thước trong thực tế như Hình 2, em hãy giải bài toán sau để kiểm chứng kết quả thực nghiệm:
Bài toán. Xét điểm $M$ trên cung parabol $\widehat{AnB}$ và điểm $N$ trên đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$.

Chọn hệ trục toạ độ: Chọn hệ trục $Oxy$ có gốc trùng với đỉnh $P$ của cung parabol, trục $Oy$ là trục đối xứng của cung parabol và hướng lên trên, trục $Ox$ chứa đoạn thẳng $PQ$. Đơn vị trên hai trục là mét. Phương trình cung parabol: Vì parabol có đỉnh là gốc toạ độ và nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên nó có phương trình $y=k{x}^2$. Theo kích thước đã cho, điểm $B(4;8)$ thuộc cung parabol, do đó $8=16k$, suy ra $k=\frac{1}{2}$. Vậy $$(AnB):y=\frac{x^2}{2},x\in [-4;4].$$ Phương trình đường tròn: Điểm $Q(14;0)$ là điểm cao nhất của đường tròn $(C)$ và $(C)$ có bán kính 4, nên tâm của $(C)$ là $J(14;-4)$ và $$(C):(x-14{)}^2+(y+4{)}^2=16.$$ Đưa về bài toán một biến: Với $M$ thuộc cung parabol và $N$ thuộc $(C)$, theo bất đẳng thức tam giác, $$MN\ge MJ-JN=MJ-4,$$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $MJ$ với $(C)$. Do đó chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của $MJ$. Khảo sát khoảng cách $MJ$: Với $M\left(x;\frac{x^2}{2}\right)$, $x\in [-4;4]$, đặt $$f(x)=M{J}^2=(x-14{)}^2+{\left(\frac{x^2}{2}+4\right)}^2.$$ Ta có $$f^{\prime }(x)=2(x-14)+2\left(\frac{x^2}{2}+4\right)x=x^3+10x-28=(x-2)(x^2+2x+14).$$ Vì $x^2+2x+14=(x+1{)}^2+13>0$ với mọi $x$ nên $f^{\prime }(x)$ cùng dấu với $x-2$. Suy ra $f$ nghịch biến trên $[-4;2]$ và đồng biến trên $[2;4]$, do đó $f$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-4;4]$ tại $x=2$: $$\underset{[-4;4]}{\min }f=f(2)=(2-14{)}^2+(2+4{)}^2=144+36=180.$$ Vậy $M{J}_{\min }=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, đạt được khi $M(2;2)$. Kết luận: $$M{N}_{\min }=6\sqrt{5}-4\approx 9,42\text{ (m)},$$ đạt được khi $M(2;2)$ và $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $MJ$ với đường tròn $(C)$. Đáp số: Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng $6\sqrt{5}-4$ (mét).