(1,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=10\sqrt{3}$ và $AC=10$. Xác định ba đường tròn $(I_1),(I_2),(I_3)$ lần lượt như sau: đường tròn $(I_1)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$; đường tròn $(I_2)$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(I_1)$ và tiếp xúc với hai cạnh $CA,CB$ của tam giác; đường tròn $(I_3)$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(I_2)$ và tiếp xúc với hai cạnh $CA,CB$ của tam giác (như hình vẽ). Tính tổng chu vi của ba đường tròn $(I_1),(I_2)$ và $(I_3)$.

Các yếu tố của tam giác: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{300+100}=20,\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\sqrt{3}⟹\widehat{ACB}=60^{\circ }.$$ Bán kính đường tròn nội tiếp: Với tam giác vuông tại $A$, $$r_1=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{10\sqrt{3}+10-20}{2}=5(\sqrt{3}-1).$$ Vị trí tâm ba đường tròn: Cả ba đường tròn đều tiếp xúc với hai cạnh $CA$ và $CB$ nên ba tâm $I_1,I_2,I_3$ cùng nằm trên tia phân giác của góc $\widehat{ACB}$. Nếu một đường tròn tâm $I$ bán kính $r$ tiếp xúc với hai cạnh của góc $\widehat{ACB}$ thì $$CI=\frac{r}{\sin \frac{\widehat{ACB}}{2}}=\frac{r}{\sin 30^{\circ }}=2r.$$ Thiết lập tỉ số bán kính: Đường tròn $(I_2)$ nằm giữa $C$ và $(I_1)$, hai đường tròn này tiếp xúc ngoài nên $C{I}_1-C{I}_2=r_1+r_2$, tức là $$2r_1-2r_2=r_1+r_2⟹r_2=\frac{r_1}{3}.$$ Lập luận tương tự với cặp $(I_2),(I_3)$ cho $r_3=\frac{r_2}{3}=\frac{r_1}{9}$. Tính tổng chu vi: $$C=2\pi (r_1+r_2+r_3)=2\pi r_1\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\right)=2\pi \cdot 5(\sqrt{3}-1)\cdot \frac{13}{9}=\frac{130(\sqrt{3}-1)\pi }{9}.$$ Đáp số: Tổng chu vi ba đường tròn bằng $\frac{130(\sqrt{3}-1)\pi }{9}\approx 33,22$.