Cho hai đường cong $(C_1):y={\log }_{a}x$ và $(C_2):y={\log }_{b}x$. Đường thẳng $d_1:x=8$ cắt các đường cong $(C_1),(C_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$; đường thẳng $d_2:x=4$ cắt đường cong $(C_2)$ tại $C$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=2$. Hỏi ${\log }_2(ab)$ bằng bao nhiêu?

Tọa độ ba đỉnh: Theo giả thiết $$A(8;{\log }_{a}8),B(8;{\log }_{b}8),C(4;{\log }_{b}4).$$ Khai thác điều kiện vuông tại $A$: Hai điểm $A,B$ có cùng hoành độ nên $AB$ là đoạn thẳng đứng. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC\perp AB$, do đó $AC$ nằm ngang, tức là $A$ và $C$ có cùng tung độ: $${\log }_{a}8={\log }_{b}4.$$ Khai thác điều kiện $AB=2$: Từ hình vẽ, $B$ nằm phía trên $A$, do đó $${\log }_{b}8-{\log }_{a}8=2.$$ Đặt ẩn phụ và giải: Đặt $p={\log }_{2}a$, $q={\log }_{2}b$ (với $p\ne 0$, $q\ne 0$). Khi đó $${\log }_{a}8=\frac{3}{p},{\log }_{b}8=\frac{3}{q},{\log }_{b}4=\frac{2}{q}.$$ Hệ điều kiện trở thành $$\frac{3}{p}=\frac{2}{q}\text{vaˋ}\frac{3}{q}-\frac{3}{p}=2.$$ Thay $\frac{3}{p}=\frac{2}{q}$ vào đẳng thức thứ hai: $\frac{3}{q}-\frac{2}{q}=2\iff \frac{1}{q}=2\iff q=\frac{1}{2}$, từ đó $p=\frac{3q}{2}=\frac{3}{4}$. Kết luận: ${\log }_2(ab)={\log }_{2}a+{\log }_{2}b=p+q=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$. Đáp số: ${\log }_2(ab)=\frac{5}{4}$.