Tổng của tất cả các nghiệm của phương trình $2{\log }_2(x+5)+{\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}6$ bằng bao nhiêu?

Điều kiện xác định: $x+5>0$ và $x^2>0$, tức là $x>-5$ và $x\ne 0$. Biến đổi về cùng một lôgarit: với điều kiện trên, $$2{\log }_2(x+5)+{\log }_2{x}^2={\log }_2(x+5{)}^2+{\log }_2{x}^2={\log }_2\left[(x+5{)}^2{x}^2\right],2{\log }_{2}6={\log }_{2}36.$$ Do đó phương trình tương đương với $$(x+5{)}^2{x}^2=36⟺{\left[x(x+5)\right]}^2=36⟺\left|x^2+5x\right|=6.$$ Giải hai trường hợp: $x^2+5x=6⟺x^2+5x-6=0⟺x=1$ hoặc $x=-6$; đối chiếu điều kiện, nhận $x=1$ và loại $x=-6$. $x^2+5x=-6⟺x^2+5x+6=0⟺x=-2$ hoặc $x=-3$; cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện. Tập nghiệm là $\{-3;-2;1\}$, tổng các nghiệm bằng $-3+(-2)+1=-4$. Đáp số: Tổng các nghiệm bằng $-4$.