(1,5 điểm) Một hộp đựng 20 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 20, hai thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong hộp nói trên. Tính xác suất của biến cố "Hiệu của bình phương hai số được ghi trên hai thẻ là một số chia hết cho 5".

Không gian mẫu: Số cách lấy ngẫu nhiên hai thẻ từ 20 thẻ là $$n(\Omega )=C_{20}^2=190.$$ Điều kiện của biến cố: Gọi $E$ là biến cố đã cho và $m,n$ là hai số ghi trên hai thẻ được lấy. Điều kiện $m^2-n^2⋮5$ tương đương với việc $m^2$ và $n^2$ có cùng số dư khi chia cho 5. Phân loại theo số dư của bình phương: Xét số nguyên dương $k$ và số dư của $k$ khi chia cho 5: $k$ chia hết cho 5 thì $k^2$ chia 5 dư 0; $k$ chia 5 dư 1 hoặc dư 4 thì $k^2$ chia 5 dư 1; $k$ chia 5 dư 2 hoặc dư 3 thì $k^2$ chia 5 dư 4. Trong 20 số từ 1 đến 20, mỗi lớp số dư khi chia cho 5 có đúng 4 số. Do đó tập hợp 20 số được chia thành ba nhóm theo số dư của bình phương: nhóm dư 0 có 4 số, nhóm dư 1 có 8 số, nhóm dư 4 có 8 số. Đếm số kết quả thuận lợi: Biến cố $E$ xảy ra khi và chỉ khi hai thẻ được lấy thuộc cùng một nhóm, nên $$n(E)=C_4^2+C_8^2+C_8^2=6+28+28=62.$$ Kết luận: $$P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{62}{190}=\frac{31}{95}.$$ Đáp số: $P(E)=\frac{31}{95}\approx 0,33$.