Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chính tắc parabol conic (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ thuộc $(P):y^2=4x$ nên viết $C\left(\frac{t^2}{4};t\right)$, $t\in \mathbb{R}$ (đúng tham số hóa: $y=t\Rightarrow x=\frac{t^2}{4}$). Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{t^2}{4};t+4\right)$. Diện tích: $$S=\frac{1}{2}\left|(-6)(t+4)-8\cdot \frac{t^2}{4}\right|=\frac{1}{2}\left|-2t^2-6t-24\right|=\left|t^2+3t+12\right|.$$ Xét $f(t)=t^2+3t+12$ có đỉnh $t=-\frac{3}{2}$, $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+12=\frac{39}{4}>0$, nên $|f(t)|$ nhỏ nhất bằng $\frac{39}{4}$ tại $t=-\frac{3}{2}$. Khi đó $x_C=\frac{(9/4)}{4}=\frac{9}{16}$, $y_C=-\frac{3}{2}$. Kiểm tra: $y_C^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}=4x_C$ ✓, điểm $C$ thuộc $(P)$. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$, $S_{\min }=\frac{39}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (hoặc $x^2=2py$). Trong các phương trình đã cho: $y^2=6x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=6$, $p=3>0$, đây là parabol bậc hai chính tắc. $y=6x^2$ là parabol nhưng không phải phương trình chính tắc (dạng hàm số bậc hai). $y=6x$ là đường thẳng. $y^2=\frac{6}{x}$ không phải parabol. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (hoặc $x^2=2py$). Xét các phương án: A là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ — phương trình chính tắc của elip; B là $y=2x$ — phương trình đường thẳng; C là $y^2=2x$ — đúng dạng chính tắc của parabol với $2p=2$, tức $p=1$, đỉnh tại gốc tọa độ, nhận trục $Ox$ làm trục đối xứng, hướng về phía dương của trục $Ox$; D là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ — phương trình chính tắc của hyperbol. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=8x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=8\Rightarrow p=4$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(2;0)$. Khớp với đáp án A trong bảng HD chấm (đề 102, câu 7 = A).