Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp $X=\{2;4;6;8;10;12;13;14;16;18;20\}$ để xếp vào 5 ô $A,B,C,D,O$ như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi Y là biến cố: "Số 13 xếp ở ô O và tổng các số xếp ở các ô $A,O,C$ bằng tổng các số xếp ở các ô $B,O,D$". Biết $P\left(Y\right)=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

$|\Omega |=A_{11}^5=55440$. Biến cố $Y$: " $O=13$ và $A+O+C=B+O+D$ " $\iff O=13$ và $A+C=B+D$. Cố định $O=13$. Khi đó $A,B,C,D$ là 4 số phân biệt lấy từ $S=X\setminus \{13\}=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$. Chia cả 4 số cho 2, đặt $T=\{1,2,\dots ,10\}$. Ta có $x+z=y+w$ với $x,y,z,w$ là 4 số phân biệt trong $T$ (ứng với $A,B,C,D$). Gọi $k_s$ là số cặp không thứ tự $\{i;j\}\subset T$ sao cho $i+j=s$. Với $T=\{1,2,\dots ,10\}$, ta có các $k_s$ $(s=\overline{3;19})$: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Với mỗi tổng $s$, số cách chọn có thứ tự hai cặp khác nhau cùng tổng $s$ là $k_s(k_s-1)$. Mỗi cách như vậy gán vào $(A,C)$ và $(B,D)$, đồng thời đổi chỗ trong từng cặp có $2.2=4$ cách. $\Rightarrow n(Y)=4{\sum }_s{k}_s(k_s-1)=400\Rightarrow P(Y)=\frac{400}{55440}=\frac{5}{693}.\Rightarrow a+b=698$.