Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P,Q,R$ lần lượt lấy trên 3 cạnh $AB,CD,BC$ sao cho $\frac{AP}{AB}=\frac{CR}{BC}=\frac{1}{3}$; $CQ=QD$. Gọi $S$ là giao của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(PQR)$. Tỉ số $\frac{AS}{AD}$ bằng?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ vectơ với gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ với $[\vec{b},\vec{c},\vec{d}]\ne 0$.

Tọa độ các điểm:
- $P\in AB$ với $\frac{AP}{AB}=\frac{1}{3}$: $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\vec{b}$.
- $R\in BC$ với $\frac{CR}{BC}=\frac{1}{3}$: $\overrightarrow{AR}=\vec{c}+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{c})=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$.
- $Q$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$.

Gọi $S$ trên đường thẳng $AD$: $\overrightarrow{AS}=t\vec{d}$. Điều kiện $S\in (PQR)$ là ba vectơ $\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}$ đồng phẳng, tức tích hỗn hợp bằng 0:
$$\det \left(t\vec{d}-\frac{1}{3}\vec{b},-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d},\frac{2}{3}\vec{c}\right)=0.$$

Khai triển (các hạng tử chứa hai vectơ tỉ lệ bằng 0):
- $\det \left(t\vec{d},-\frac{1}{3}\vec{b},\vec{c}\right)=-\frac{t}{3}\det (\vec{d},\vec{b},\vec{c})=\frac{t}{3}\det (\vec{b},\vec{d},\vec{c})$ (vì $\det (\vec{d},\vec{b},\vec{c})=-\det (\vec{b},\vec{d},\vec{c})$).
- $\det \left(-\frac{1}{3}\vec{b},\frac{1}{2}\vec{d},\vec{c}\right)=-\frac{1}{6}\det (\vec{b},\vec{d},\vec{c})$.

Nhân với hệ số $\frac{2}{3}$:
$$\frac{2}{3}\left(\frac{t}{3}-\frac{1}{6}\right)\det (\vec{b},\vec{d},\vec{c})=\frac{2t-1}{9}\det (\vec{b},\vec{d},\vec{c})=0.$$

Vì $\det (\vec{b},\vec{d},\vec{c})\ne 0$ nên $t=\frac{1}{2}$, tức $S$ là trung điểm của $AD$ và $$\frac{AS}{AD}=\frac{1}{2}.$$