Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap, đáy lớn $AB$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(IJG)$.
b) Tìm điều kiện của $AB$ và $CD$ để các giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 130.** Hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thang với đáy lớn $AB$ (nên $AB\parallel CD$ và $AB>CD$). $I,J$ lần lượt là trung điểm $AD$, $BC$; $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.

**a) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(IJG)$:**
- $IJ$ là đường trung bình của hình thang nên $IJ\parallel AB$.
- Vì $AB\subset (SAB)$ và $IJ\not\subset (SAB)$ nên $IJ\parallel (SAB)$.
- Mặt phẳng $(IJG)$ đi qua $G\in (SAB)$ và chứa đường thẳng $IJ\parallel (SAB)$, nên giao tuyến của $(IJG)$ và $(SAB)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và song song với $AB$ (cũng song song với $IJ$).

**b) Điều kiện để thiết diện là hình bình hành:**
- Đường $d$ qua $G\parallel AB$ nằm trong $(SAB)$, cắt $SA$ tại $K$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ ($SG=\frac{2}{3}SM$ với $M$ trung điểm $AB$), đường qua $G$ song song với $AB$ cắt $SA$ tại $K$ với $\frac{SK}{SA}=\frac{2}{3}$, tức $K=S+\frac{2}{3}\overrightarrow{SA}$. Tương tự $d$ cắt $SB$ tại $L$ với $\frac{SL}{SB}=\frac{2}{3}$, và $KL\parallel AB$.
- Giao tuyến của $(IJG)$ với các mặt: với $(SAD)$ là $KI$ (vì $K\in SA$, $I\in AD$ đều thuộc cả hai mặt phẳng); với $(SBC)$ là $LJ$; với $(SAB)$ là $KL$; với đáy là $IJ$. Thiết diện là tứ giác $KIJL$ (đoạn $KI$ nằm trong tam giác $SAD$ nên không cắt $SD$, tương tự $LJ$ không cắt $SC$).
- $KIJL$ là hình bình hành $⟺KI\parallel LJ$ (vì $IJ\parallel KL$ đã có).

Chứng minh bằng vectơ, lấy $S$ làm gốc: $\vec{K}=\frac{2}{3}\vec{a}$, $\vec{L}=\frac{2}{3}\vec{b}$, $\vec{I}=\frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$, $\vec{J}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$. Vì $AB\parallel CD$ nên $\overrightarrow{DC}=\mu \overrightarrow{AB}$ với $0<\mu <1$, tức $\vec{d}=\vec{c}-\mu (\vec{b}-\vec{a})$ ($\mu =\frac{CD}{AB}$).
$$\overrightarrow{KI}=\vec{I}-\vec{K}=\frac{\vec{d}}{2}-\frac{\vec{a}}{6}=\frac{\vec{c}}{2}-\frac{\mu }{2}\vec{b}+\left(\frac{\mu }{2}-\frac{1}{6}\right)\vec{a},$$
$$\overrightarrow{LJ}=\vec{J}-\vec{L}=\frac{\vec{c}}{2}-\frac{\vec{b}}{6}.$$
$\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{LJ}$ khi và chỉ khi $\frac{\mu }{2}-\frac{1}{6}=0$ và $\frac{\mu }{2}=\frac{1}{6}$, tức $\mu =\frac{1}{3}$.

Vậy điều kiện là $\boxed{AB=3CD}$ (hay $CD=\frac{1}{3}AB$). Khi đó tứ giác $KIJL$ là hình bình hành ($IJ\parallel KL\parallel AB$ và $KI\parallel LJ$), tức các giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một hình bình hành.