Cho tứ diện $ABCD$ có $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. $M$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $MA=4MD$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(MPQ)$. Tính tỉ số $\frac{NB}{BC}$.

Trong mặt phẳng $(ACD)$, gọi $E$ là giao điểm của $MQ$ và $AC$. Điểm $E$ nằm trên tia $AC$, phía ngoài điểm $C$.

Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt $MQ$ tại $H$.

Hai tam giác $QDH$ và $QCE$ bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (do $QD=QC$ và các cặp góc so le trong bằng nhau), suy ra $DH=CE$.

Trong tam giác $AME$, vì $DH\parallel AE$ nên theo định lý Ta-lét: $\frac{DH}{AE}=\frac{MD}{MA}=\frac{1}{4}$.

Thay $DH=CE$ vào, ta được $\frac{CE}{AE}=\frac{1}{4}\Rightarrow AE=4CE$.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, điểm $E$ nằm trên tia $AC$, phía ngoài $C$. Vì $P$ là trung điểm của $AB$, đường thẳng $EP$ cắt đoạn $BC$ tại $N$. Điểm $N$ chính là giao điểm của đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(MPQ)$.

Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt $EP$ tại $K$.

Hai tam giác $PBK$ và $PAE$ bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (do $PA=PB$ và các góc so le trong bằng nhau), suy ra $BK=AE=4CE$.

Do $BK\parallel CE$, áp dụng định lý Ta-lét cho hai tam giác $NBK$ và $NCE$:
$$\frac{NB}{NC}=\frac{BK}{CE}=\frac{4CE}{CE}=4\Rightarrow NB=4NC.$$

Vì $N$ nằm trên đoạn $BC$ nên $BC=NB+NC=4NC+NC=5NC$.

Vậy tỉ số $\frac{NB}{BC}=\frac{4NC}{5NC}=\frac{4}{5}=0,8$.