(2,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CD,BD,AD$.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.
b) Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AN$. Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $BH$ và mặt phẳng $(MNP)$.
c) Gọi $G$ là giao điểm của $BE$ và $AD$. Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm của tam giác $AEN$.

a) Theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có $MP\parallel AC$. Mà $MP\not\subset (ABC)$, $AC\subset (ABC)$ nên $MP\parallel (ABC)$. Tương tự, ta chứng minh được $MN\parallel (ABC)$. Hai đường thẳng $MP,MN$ cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng $(MNP)$. Vậy $(MNP)\parallel (ABC)$.



b) Trong mặt phẳng $(ABD)$, ta có $NP\parallel AB$ và $BH$ cắt $AB$ nên $BH$ cắt $NP$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $BH,NP$. Ta có $E\in BH,E\in NP\subset (MNP)$ nên $E=BH\cap (MNP)$.
c) Ta thấy $NE\parallel AB$. Vì $\widehat{BAH}=\widehat{ENH}$ (hai góc so le trong), $HA=HN$ ($H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AN$), $\widehat{AHB}=\widehat{NHE}$ (hai góc đối đỉnh) nên $△BAH=△ENH$. Suy ra $AB=EN$. Ta có $NP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}EN$, dẫn tới $P$ là trung điểm của $EN$. Trong tam giác $AEN$, hai đường trung tuyến $AP,EH$ cắt nhau tại $G$. Vậy $G$ là trọng tâm của tam giác $AEN$.