Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm các hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.
1. Chứng minh: $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; $JK\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$; $IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
2. Chứng minh ba đường thẳng $AJ,CK,BI$ đồng quy tại 1 điểm $O$.
3. Chứng minh $(IJK)\parallel (ABC)$.
4. Gọi $G,G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Chứng minh $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\vec{v}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\ne \vec{0}$. Vì $I,J,K$ lần lượt là tâm các hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ nên $I$ là trung điểm của $A{C}^{\prime }$ và $C{A}^{\prime }$, do đó $\vec{i}=\frac{\vec{a}+\vec{c}+\overrightarrow{a^{\prime }}+\overrightarrow{c^{\prime }}}{4}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}+\frac{\vec{v}}{2}$; tương tự $\vec{j}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\frac{\vec{v}}{2}$, $\vec{k}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+\frac{\vec{v}}{2}$.

1) Ta có $\overrightarrow{IJ}=\vec{j}-\vec{i}=\frac{\vec{b}-\vec{a}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, nên $IJ\parallel AB$. Vì $AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $IJ\not\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ (do $I$ không thuộc mặt phẳng đó) nên $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Tương tự $\overrightarrow{JK}=\frac{\vec{a}-\vec{c}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ nên $JK\parallel AC\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$; $\overrightarrow{IK}=\frac{\vec{b}-\vec{c}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ nên $IK\parallel BC\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

2) Xét điểm $O$ với $\vec{o}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}+\frac{\vec{v}}{3}$. Ta có $\overrightarrow{AO}=\frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{3}+\frac{\vec{v}}{3}=\frac{2}{3}\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}+\frac{\vec{v}}{2}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AJ}$, nên $O\in AJ$. Tương tự $\overrightarrow{CO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}$ và $\overrightarrow{BO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BI}$. Vậy ba đường thẳng $AJ,CK,BI$ cùng đi qua $O$, tức chúng đồng quy tại $O$ (khi đó $\frac{AO}{OJ}=\frac{CO}{OK}=\frac{BO}{OI}=2$).

3) Từ câu 1: $IJ\parallel AB$, $JK\parallel AC$, $IK\parallel BC$. Ba đường thẳng $IJ,JK,IK$ nằm trong $(IJK)$ và lần lượt song song với ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một $AB,AC,BC$ trong $(ABC)$; hơn nữa $I\notin (ABC)$ (vì $\vec{i}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}+\frac{\vec{v}}{2}$ với $\vec{v}\ne \vec{0}$). Vậy $(IJK)\parallel (ABC)$.

4) Trọng tâm $\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$, $\overrightarrow{g^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{a^{\prime }}+\overrightarrow{b^{\prime }}+\overrightarrow{c^{\prime }}}{3}=\vec{g}+\vec{v}$ nên $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\vec{v}$. Từ câu 2, $\vec{o}=\vec{g}+\frac{\vec{v}}{3}$, suy ra $\overrightarrow{GO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy $O$ nằm trên đoạn $G{G}^{\prime }$ với $GO:O{G}^{\prime }=1:2$, do đó $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng.