Xét tính liên tục của các hàm số sau
a) $f(x)=x^3-x^2+8x$
b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}$
c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$
d) $f(x)=\sqrt{x-2}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên toàn trục thực $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$ xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$. Trên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$, hàm số là hàm phân số hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng của $D$. Tại $x=0$ và $x=3$: ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x-3}=0$ (hàm không xác định tại $x=0$ nên gián đoạn tại đó); ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2}{x(x-3)}=\infty$ (gián đoạn vô cực tại $x=3$). Vậy hàm liên tục trên $(-\infty ;0)$, $(0;3)$ và $(3;+\infty )$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}$; mẫu số tiến về $0$ trong khi tử số tiến về $\sin (-1)+1\approx 0,158\ne 0$, nên giới hạn này là $+\infty$ hoặc $-\infty$ (không tồn tại hữu hạn). Vậy hàm số gián đoạn tại $x=-1$ và liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$ xác định khi $x-2\ge 0$, tức $x\ge 2$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục trên $[0;+\infty )$ và $u=x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$ (tại $x=2$ hàm liên tục bên phải vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$). Vậy hàm số liên tục trên $[2;+\infty )$.