Cho hình chóp $S.MNPQ$ có đáy là hình bình hành $MNPQ$ tâm $O$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $MN,SM$.
1) Chứng minh rằng: $(OIJ)//(SNP)$.
2) Giả sử hình chóp $S.MNPQ$ có đáy $MNPQ$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SMN$ đều. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $MQ$ sao cho $ME=x(0<x<a)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $E$ và song song với mặt phẳng $(SMN)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ lần lượt cắt các cạnh $NP,SP,SQ$ tại $F,A,H$. Tìm $x$ để diện tích tứ giác $EFAH$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$?

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2.

1) Vì $MNPQ$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm $MP$. Trong tam giác $SMP$: $J$ là trung điểm $SM$, $O$ là trung điểm $MP$ nên $JO\parallel SP$. Trong tam giác $SMN$: $J$ là trung điểm $SM$, $I$ là trung điểm $MN$ nên $IJ\parallel SN$. Ta có $JO\subset (OIJ)$, $JO\parallel SP\subset (SNP)$; $IJ\subset (OIJ)$, $IJ\parallel SN\subset (SNP)$; và $SN\cap SP=S$, $IJ\cap JO=J$, $J\notin (SNP)$. Vậy $(OIJ)\parallel (SNP)$.

2) Chọn hệ tọa độ: $M(0;0;0)$, $N(a;0;0)$, $P(a;a;0)$, $Q(0;a;0)$. Vì tam giác $SMN$ đều cạnh $a$ nên $S\left(\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, gọi $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Mặt phẳng $(SMN)$ là mặt phẳng $y=0$. Mặt phẳng $(\alpha )\parallel (SMN)$ đi qua $E(0;x;0)$ trên $MQ$ nên $(\alpha ):y=x$.

- $F\in NP$: $NP$ là đoạn $x=a$, $0\le y\le a$ nên $F(a;x;0)$, do đó $EF=a$.
- $A\in SP$: $A=S+t(P-S)=\left(\frac{a}{2}+\frac{ta}{2};ta;h(1-t)\right)$, điều kiện $y=x$ cho $t=\frac{x}{a}$, nên $A\left(\frac{a}{2}+\frac{x}{2};x;h\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$.
- $H\in SQ$: $H=S+t(Q-S)$, điều kiện $y=x$ cho $t=\frac{x}{a}$, nên $H\left(\frac{a}{2}-\frac{x}{2};x;h\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AH}=H-A=(-x;0;0)$ nên $AH\parallel EF$, tức $EFAH$ là hình thang với hai đáy $EF=a$, $AH=x$.

Chiều cao của hình thang là khoảng cách giữa hai đường thẳng $EF$ và $AH$, tức độ dài thành phần vuông góc với phương $Ox$ của $\overrightarrow{EH}=\left(\frac{a}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right);0;h\left(1-\frac{x}{a}\right)\right)$, bằng $h\left(1-\frac{x}{a}\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a-x}{a}$.

Diện tích tứ giác $EFAH$:
$$S_{EFAH}=\frac{EF+AH}{2}\cdot h\left(1-\frac{x}{a}\right)=\frac{a+x}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(a-x)=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-x^2).$$

Theo đề bài:
$$\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2-x^2)=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\Rightarrow a^2-x^2=\frac{a^2}{2}\Rightarrow x^2=\frac{a^2}{2}\Rightarrow x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
(vì $0<x<a$).

Vậy $x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.