Chứng minh rằng:
a) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=\sqrt{n^2+1}$ bị chặn dưới;
b) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=-n^2-n$ bị chặn trên;
c) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23. Chứng minh:

a) Với mọi $n\ge 1$, ta có $n^2+1\ge 1>0$ nên $u_n=\sqrt{n^2+1}\ge \sqrt{1}=1$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m=1$ (thực ra $u_n\ge 1$ với mọi $n$, dấu bằng khi $n=1$).

b) Với mọi $n\ge 1$, ta có $n^2\ge 1$ và $n\ge 1$ nên $n^2+n\ge 2>0$, do đó $u_n=-(n^2+n)\le -2$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi $M=-2$ (dấu bằng khi $n=1$).

c) Với mọi $n\ge 1$: $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2(n+2)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$.

Vì $n\ge 1$ nên $n+2\ge 3$, suy ra $0<\frac{3}{n+2}\le 1$, do đó $1\le 2-\frac{3}{n+2}<2$, tức $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$.

Vậy dãy $(u_n)$ vừa bị chặn dưới (bởi 1) vừa bị chặn trên (bởi 2), tức là dãy bị chặn.