Trong Hình 5, ba điểm $M,N,P$ nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài $31m$, độ cao của điểm $M$ so với mặt đất là $30m$, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc $(OA,OM)$ là $\alpha$.



Tính chiều cao của điểm $P$ so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

(AI giải đề cho tôi)
Gốc tọa độ đặt tại tâm $O$ của tua-bin, trục $Ox$ là tia $OA$. Theo Hình 5, tâm $O$ cao $60m$ so với mặt đất, điểm $M$ cao $30m$ nên tung độ của $M$ so với $O$ là $-30$. Vì $M$ là đầu cánh quạt nên $OM=31m$.

Tia $OM$ nằm dưới trục hoành, tạo với $Ox$ góc $-\alpha$, nên
$$31\sin \alpha =30\Rightarrow \sin \alpha =\frac{30}{31},\cos \alpha =\frac{\sqrt{31^2-30^2}}{31}=\frac{\sqrt{61}}{31}.$$

Cánh quạt $OP$ thu được từ $OM$ quay một góc $\frac{2\pi }{3}$ theo chiều dương, nên tia $OP$ tạo với $Ox$ góc $\beta =\frac{2\pi }{3}-\alpha$. Tung độ của $P$ so với $O$:
$$31\sin \beta =31\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\alpha \right)=31\left(\sin \frac{2\pi }{3}\cos \alpha -\cos \frac{2\pi }{3}\sin \alpha \right)$$
$$=31\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{61}}{31}+\frac{1}{2}\cdot \frac{30}{31}\right)=\frac{\sqrt{183}+30}{2}\approx 21.764(m).$$

Vậy chiều cao của điểm $P$ so với mặt đất là
$$h_P=60+21.764\approx 81.8(m).$$