Rút gọn biểu thức
a) $A=\sin \left(x+14^{\circ }\right)\sin \left(x+74^{\circ }\right)+\sin \left(x-76^{\circ }\right)\sin \left(x-16^{\circ }\right)$

b) $C=\left[1+{\tan }^2\left(-\alpha +11\pi \right)\right].{\sin }^2\left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)$

d) $D=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5.

a) Ta có $\sin (x-76^{\circ })=\sin (x+14^{\circ }-90^{\circ })=-\cos (x+14^{\circ })$ và $\sin (x-16^{\circ })=\sin (x+74^{\circ }-90^{\circ })=-\cos (x+74^{\circ })$. Do đó
$$A=\sin (x+14^{\circ })\sin (x+74^{\circ })+\cos (x+14^{\circ })\cos (x+74^{\circ })=\cos ((x+14^{\circ })-(x+74^{\circ }))=\cos (-60^{\circ })=\frac{1}{2}.$$

b) Vì $\tan (-\alpha +11\pi )=\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$ nên $1+{\tan }^2(-\alpha +11\pi )=1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$. Mặt khác $\sin \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \alpha$, nên ${\sin }^2\left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)={\cos }^2\alpha$. Vậy
$$C=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot {\cos }^2\alpha =1(\cos \alpha \ne 0).$$

d) Áp dụng công thức tổng thành tích:
$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$
Suy ra
$$D=\frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}=\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\tan 2x,$$
(với điều kiện biểu thức có nghĩa: $\cos 2x\ne 0$, $2\cos x+1\ne 0$, $\cos x\ne 0$).