Cho tứ diện $ABCD$ có $G$ là trọng tâm của $△ABD$ và $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=x.MC$. Tìm $x$ để đường thẳng $MG$ song song với mặt phẳng $(ACD)$.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Vì $MG\parallel (ACD)$ và giao tuyến của $(ABD)$ và $(ACD)$ là $AD$, đường thẳng qua $G$ song song với $(ACD)$ trong mặt phẳng $(ABD)$ phải song song với $AD$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng qua $G$ song song với $AD$ với $BD$. Trong tam giác $ABD$, vì $G$ là trọng tâm (nằm trên trung tuyến từ $A$, cách $A$ bằng $2/3$ trung tuyến), ta có $N$ thuộc $BD$ với $BN=2\cdot ND$ (tỉ số phân đoạn $2/3$ từ $B$). Mặt phẳng qua $G$ song song với $(ACD)$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ theo giao tuyến qua $N$ song song với $CD$, cắt $BC$ tại $M$. Trong tam giác $BCD$, vì $NM\parallel CD$ theo định lý Thales: $BM/MC=BN/ND=2$. Vậy $MB=2\cdot MC$ nên $x=2$. Kiểm tra: với $x=2$, $M$ chia $BC$ theo tỉ số $BM:MC=2:1$, đường $MG$ nằm trong mặt phẳng qua $N$ song song $CD$ và qua $G$ song song $AD$, mặt phẳng này song song với $(ACD)$, do đó $MG\parallel (ACD)$. Thỏa mãn.