Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$ là trọng tâm $△A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $G$ và song song với các đường thẳng $B{D}^{\prime }$, $A^{\prime }D$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $C{D}^{\prime }$ và mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $\frac{K{D}^{\prime }}{KC}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,P$ là ba điểm lần lượt thuộc các đoạn thẳng $A{B}^{\prime },A{C}^{\prime },B^{\prime }C$ sao cho $\frac{AM}{A{B}^{\prime }}=\frac{C^{\prime }N}{A{C}^{\prime }}=\frac{CP}{C{B}^{\prime }}=x$ (tham khảo hình vẽ). Khi $(MNP)\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$, hãy chọn khẳng định đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB//CD$ và độ dài các cạnh $AB=7a$, $CD=5a$. Gọi $Q$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho đường thẳng $CQ$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. Biết tỉ số $\frac{QS}{QB}=\frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Tính $2m+3n$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $SM=\frac{1}{4}SC$ và $N$ là trung điểm của $AO$

a) Chứng minh $MN//(SAB)$.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $AM$ và song song với $BD$ đồng thời $(\alpha )$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $E,F$. Tính tỉ số diện tích $\frac{S_{△SEM}}{S_{△SBC}}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thap với $AD\parallel BC$ và $AD=3BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $I$ là điểm thuộc đoạn $SC$ sao cho $\frac{CI}{CS}=x$. Tìm $x$ để $OI\parallel (SAD)$.

(0,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB\parallel CD$, $AB=2CD$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$. Mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SD$ tại $P$, tính tỷ số $\frac{SP}{SD}$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB=2CD$, $AB\parallel CD$. $M$ là trung điểm của cạnh $AD$; mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với mp$(SAB)$. a) Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng $(\alpha )$ với hình chóp $S.ABCD$. b) Tính diện tích của thiết diện biết tam giác $SAB$ đều cạnh bằng 6.